湊微分法和分部積分法探析

張奕河

摘 要： 針對高職學生在學習兩個函數乘積的積分遇到的困惑，

通過類比湊微分法和分部積分法的異同點，歸納出一種統一的方法，使得求解時變得有規可循，化難為易，便于學生理解和掌握，也培養了學生探究能力和創新思維能力。

關鍵詞： 乘積；湊微分；分部積分；順序

求兩個函數乘積的導數（微分），有了乘積的求導（微分）法則就容易解決了，而求兩個函數乘積的積分，由于積分運算只有線性性質 沒有乘除的運算性質，因此求兩個函數乘積的積分成為高職學生的學習難點，除了部分題目化為線性運算用直接積分法和第二換元法求解外，大部分題目主要是用湊微分法和分部積分法解決，學生在學習中的難點是這兩種方法選擇哪種？無法做出正確的判定，無從下手，往往“知難而退”，作業抄襲上交應付了事。本人在教學中，通過類比兩種方法的異同點，歸納出一種統一的方法，使得求解時變得有規可循，化難為易，便于學生理解和掌握。

一、湊微分法和分部積分法的異同點：

相同點：1、主要解決兩個函數乘積的積分（特殊情況可以是單一函數）；2、都要湊微分。

不同點：1、湊微分主要解決復合函數的積分問題，要求兩個乘積項都要與同一變量（中間變量u）有關，一個是中間變量的函數，另一個是中間變量的導數的常數倍，而分部積分法兩個乘積項不需要有關系。

解題關鍵是u的選取和湊微分du。

二、統一方法

三、應用舉例

小結：

學生遇到兩個函數乘積積分題目不知要采用哪種方法，無從下手，產生畏難情緒，學習興趣和積極性受到打擊，找不到入門的手段和方法，有點倒在門外的感覺。通過教師引導，讓學生找到兩種方法知識點之間的關聯并融會貫通，歸納出統一方法，培養了探究能力和創新思維能力，同時變復雜為簡單，變抽象為具體，使得學生解決這類型問題變得有規可循，容易理解和掌握，入門、上手快，題目會做、樂做，樂學、思學，在學習過程中找到收獲感和成就感。當然，積分難學就在于沒有一種固定、萬能的方法，但學生掌握了上述方法，做題不會再一籌莫展，學習有了積極性，通過一定的練習，熟能生巧，對一些常見的題型和技巧了如指掌，使得解題更加快捷自如，大大提高學生積分的計算能力。

參考文獻

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.