并聯系統分布預測控制

張舒展，趙東亞，朱全民

(中國石油大學(華東)化學工程學院，山東 青島 266580)

0 引言

分布式模型預測控制(distributed model predictive control,DMPC)是為了避免控制器計算負擔過重而提出的一類新型預測控制方式[1-3]。過程網絡按照結構分解后，分為串聯和并聯兩種基本的連接形式[4-6]。并聯系統，例如全混流反應器(continuous stirring tank reactor，CSTR)乙醇生產過程控制系統[7-9]。其特點是各個子系統之間都存在信息和能量的耦合，在工藝和結構上存在干擾與競爭，其狀態矩陣為全系數矩陣，優化問題需要考慮競爭關系。目前，關于并聯系統分布式預測控制問題的研究鮮有報道。

本文結合并聯系統物理結構，提出了一種新型并聯系統生產過程的分布式預測控制算法。該算法考慮了并聯系統的競爭性耦合，保證了優化問題的可行性和穩定性。以燃氣鍋爐供暖系統為例，驗證了該算法的有效性和可行性。

1 問題描述

并聯系統物理模型如圖1所示。整個系統包含N個子系統。每個子系統都有一個DMPC，并具有對應的子系統控制律uN。每個子控制器之間通過控制網絡進行信息交流。系統的控制目標是使每個子系統輸出跟蹤設定值，并實現系統整體最優控制。

圖1 并聯系統物理模型圖

并聯過程的特點是每個子系統與其他各子系統的輸入存在耦合。

系統的傳遞函數矩陣為：

定義1 若子系統i與子系統j在整個系統中并聯于同一條總線，在滿足常規約束的同時，由于總線資源一定，則||ui||+||uj||≤||u||稱為競爭性耦合的線性約束。

對于傳遞函數矩陣，可以采用傳統的集中式預測控制。當子系統較多時，會導致控制器計算負擔過重。分布式預測控制通過多個控制器協調工作，可較大程度地提高系統的工作效率?？紤]Na個子系統及參考目標的動態方程如下：

xi(k+1)=Aixi(k)+Biui(k)i∈Na

(1)

式中：xi∈Rn和ui∈Rm分別為子系統i(參考目標)的可測狀態和控制輸入；Na為指標集。

在k時刻，各子系統i的成本函數為：

(2)

式中：zij為第i個子系統與第j個子系統的狀態預測偏差；zir為第i個子系統與第r個子系統的狀態預測偏差；uir為第i個子系統與第r個子系統的輸入預測偏差；Pi(k)為終端權重矩陣；Qi(k)和Ri為相應的局部權重矩陣。

(3)

全局權重矩陣R=diag{R1，R2， …，RNa}∈RmNa，Q(k)=GW(k)GT∈R(Na×Na)，其中，G=[G1,G2,…,GNa]∈Rn(Na×M)為指定的全局通信耦合關系矩陣，G′=[gpqIn]∈Rn(Na×Mi)，W(k)=diag{W1(k)，W2(k),…,WNa(k)}∈Rn(M×M)為k時刻的全局權值矩陣。

(4)

(5)

第i個子系統的狀態方程可表示為：

(6)

整個過程可以由狀態方程(7)和輸出方程(8)描述：

(7)

(8)

式(2)、式(7)和式(8)表明了并聯結構中各子系統之間的耦合關系。

2 分布式預測控制設計

在分布式預測控制中，采用以下條件(即終端約束條件)來保證系統穩定性：

(9)

式中：εi(k)和Pi(k)分別為待定的標量和終端控制律；Si為滿足diag{S1,…,SN}≥G的任意正定矩陣；xi和uir分別為子系統i的狀態和輸入約束集。

令Ωi(N|k)={xi(N|k)}表示子系統i在k時刻的終端約束集。

(10)

(11)

由于各子系統通過求解優化問題來計算當前時刻的控制輸入，因此，設計預測控制器需要保證優化問題在任意時刻都有可行解[10-19]，即遞歸可行性。

定理1 針對并聯系統(1)，在式(9)的約束下，設計式(11)的控制率。如果式(10)在k=0時刻可解的條件下，對給定有限時域T>0，基于并聯系統的分布式預測控制算法在任意k>0時刻收斂。

上述定理保證了優化問題的遞歸可行性和多子系統的閉環穩定性，即保證了控制器的有效性?；谝陨辖Y論，為各個子系統設計如下分布式預測控制應用算法。

3 并聯燃氣鍋爐供暖系統仿真

為了驗證算法的有效性，本文選擇了燃氣鍋爐供暖系統這一并聯過程進行仿真。系統簡化物理模型如圖2所示[19-21]。

圖2 系統簡化物理模型圖

動態特性分析如下。

單獨考慮用戶1時，有：

c(uik)ΔT=cQ1(Tin1-Tout1)

(12)

Rn1c(u1k)ΔT=Tin1-Tout1

(13)

經過拉式變換，得到：

Tin1(s)=csΔTRnu(s)+Tout1(s)

(14)

設Kn=ckΔTRn，得到：

Tin1(s)=Knu(s)+Tout1(s)

(15)

整體考慮用戶室內散熱，可以得到二次網供水、回水的熱量損失等于室內空氣及墻體熱量獲取和窗口熱量散失。

(16)

(17)

(18)

本文以二次網回水溫度為被控量，傳遞函數為：

(19)

以上公式中：Q1為二次網流量;Tin1、Tout1分別為用戶1二次網進水與回水溫度，Tout1=T1；ΔT為一次網供水溫度與回水溫度之差；M為室內物質總體加權質量；c′為室內物質總體加權比熱；r1為窗口傳熱系數；S1為窗口散熱面積；T′為室外溫度。

根據供暖系統二次網回水溫度，進行模型參數識別試驗，測量得到回水溫度數據。多次采集溫度數據并取平均。

根據采集到的數據，將溫升曲線離散化，求出階躍響應曲線，建立預測模型。系統以二次網回水溫度為被控量，以雙通閥開度為控制量，采樣周期Ts=500 s，采樣長度N=100，預測長度P=25，控制時域M=1。如果采用分布式預測控制，對20組子系統進行仿真，前兩組子系統的分布式預測控制仿真結果如圖3所示。

圖3 分布式預測控制仿真結果圖

從圖3可以看出，兩個并聯用戶都可以較快地達到需要的溫度，兩者區別僅僅在于控制作用不同，控制效果幾乎相同。由此可見，該分布式預測控制對于這類并聯系統具有良好的控制效果，算法計算時間為1.35 s。如果采用PID控制同樣的系統，前兩組子系統的PID控制仿真結果如圖4所示。

圖4 PID控制仿真結果圖

并聯過程的分布式預測控制采用PID控制算法，算法計算時間為2.04 s。如果采用集中式預測控制同樣系統，前兩組子系統的集中式預測控制仿真結果如圖5所示。

圖5 集中式預測控制仿真結果圖

分布式預測控制與集中式預測控制性能相當，但分布式預測控制算法的計算時間為1.86 s，比分布式預測控制算法的計算時間長。

4 結束語

并聯系統是過程連接最基本的形式之一。本文針對并聯系統的全系數耦合與線性約束問題，研究了分布式預測控制算法。根據并聯系統的各個子系統的輸出與各子系統輸入競爭性的特點，采用迭代分布式預測控制算法，解決了并聯系統的全系數耦合問題。在此基礎上，提出了并聯系統分布式預測控制器算法。根據其迭代計算條件，得出各子系統競爭性的平衡關系。在優化問題中考慮了線性約束，保證了優化問題的遞歸可行性和整個系統的閉環穩定性。通過對燃氣鍋爐供暖系統的仿真[20-22]，驗證了該方法的可行性和有效性。

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