基于改進加權一階局域法的空中交通流量預測模型

王 超，朱 明，趙元棣

(中國民航大學空中交通管理學院，天津300300)

空中交通流量時間序列的實時預測有助于掌握交通流的發(fā)展演化趨勢和規(guī)律，為空中交通管理部門提供控制決策依據(jù).作為空中交通流量管理和空域規(guī)劃研究的重要前提和基礎［1-2］，空中交通流量預測一直是國內外空管研究的熱點之一.

當前空中交通流量預測方法主要分4類:(1)基于飛行計劃的確定型流量預測方法，包括基于飛行計劃4D軌跡預測方法［3］;(2)基于數(shù)理統(tǒng)計的預測方法，包括時間序列法、回歸分析法、卡爾曼濾波法和指數(shù)平滑法等［1-2］;(3)非線性預測方法，包括小波分析預測法、混沌理論預測法和突變理論預測法等［4-5］;(4)智能預測方法，包括神經(jīng)網(wǎng)絡法、支持向量機等［5-6］.

由于空中交通以航班飛行任務計劃為驅動，基于飛行計劃軌跡預測方法首先發(fā)展起來.該方法以航空固定電報中的領航計劃為基礎，以航班動態(tài)報和雷達航跡為修正，建立航班4D軌跡推測模型，統(tǒng)計得到各空域單元的交通流量.然而，由于空中交通系統(tǒng)是一個多角色交互耦合的復雜非線性系統(tǒng)［7］，存在許多不確定性因素，航班實際運行4D軌跡與飛行計劃軌跡經(jīng)常存在較大差異，導致基于報文的流量預測精度較差.

為彌補上述不足，在國內外學者對空中交通系統(tǒng)非線性特性初步探索基礎上，基于混沌時間序列方法的短期交通流量預測方法逐漸發(fā)展起來.Packard［8］提出重構相空間理論，開啟了混沌時間序列的研究，此后混沌時間序列的全域法、局域法、基于最大Lyapunov指數(shù)［9］等預測方法相繼出現(xiàn).Cong等［10］利用關聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)對空域扇區(qū)內交通流的混沌特性進行研究;Li等［11］利用最大Lyapunov指數(shù)對飛行沖突時間序列的混沌特性進行分析，證明了應用混沌理論進行飛行沖突預測的可行性;王超等［12］證明了交匯航路空中交通流具有混沌特性.上述研究成果為基于混沌理論的時間序列預測法應用于空中交通流量預測提供了理論基礎，但并未將其應用于實際的交通流量預測中.因此，本文對基于混沌時間序列的預測方法進行改進并構建空中交通流量預測模型是非常有意義的.

加權一階局域預測方法比神經(jīng)網(wǎng)絡法、基于最大Lyapunov指數(shù)預測法等具有待求參數(shù)少、快速等優(yōu)點，能滿足空中交通流量預測實時性強、操作簡單、易實現(xiàn)等要求.呂金虎等［9］提出了加權一階局域預測方法并將其應用到電力系統(tǒng)短期負荷預測中，但預測準確性還有很大的提升空間.空中交通流量控制和管理決策需要更高精度的流量預測，本文對加權一階局域法的預測模型進行改進，并采用基于誤差序列的誤差修正方法對預測誤差進行修正.最后，以北京區(qū)域管制中心某扇區(qū)交通流實測數(shù)據(jù)開展驗證實驗，先利用關聯(lián)維數(shù)對空中交通流量時間序列進行混沌特性識別，之后分別用改進前、后的預測方法進行預測效果比對.

1 改進的加權一階局域預測法

1.1 加權一階局域預測法

對于混沌時間序列 x1，x2，…，xN，其中，N 為時間序列的長度，選取適當?shù)那度刖S數(shù)m和時間延遲τ，進行相空間重構［13-15］，得到相空間為 Xi=(xi，xi+τ，…，xi+(m－1)τ)，i=1，2，…，M，其中 M=N－(m－1)τ.以預測中心相點XM作為參考相點，求參考相點 XM與前 M－1個相點的歐氏距離dl(l=1，2，…，M－1)，取與參考相點 XM的歐氏距離最小的m+1個相點，記為 XMn(n=1，2，…，m+1)，且對應的與參考相點XM的距離為dn，則相點XMn的權值為

式中:dmin為dn中的最小值;c為參數(shù)，一般取c=1.

設參考相點XM的鄰近相點集為{XMn}，其演化一步后的相點集為{XMn+1}.利用一階局域線性擬合得到XMn和XMn+1的關系如式(2).

式中:E=(1，1，…，1)T為 m×1階矩陣;a、b為擬合所需的實系數(shù).

根據(jù)加權最小二乘法有

將式(3)看成是關于未知數(shù)a和b的二元函數(shù)，為求得使函數(shù)達到最小的未知數(shù)的解，求偏導并令其為0，可得

化簡得

將求得的參數(shù)a、b代入式(7)，即可得到演化一步后的相點預測值X^M+1，如式(8).

1.2 預測模型的改進

1.1 節(jié)所描述的未改進的加權一階局域預測方法，是m+1個鄰近相點XMn與其一步演化后的相點XMn+1的一階局域線性關系參數(shù)a、b，作為相點XM與其一步演化相點XMn+1的一階局域線性關系參數(shù)代入式(8)進行預測，即認為鄰近相點的一步演化規(guī)律和參考相點一步演化規(guī)律相似.但實際上，由于用于預測的歷史數(shù)據(jù)有限或出現(xiàn)特殊值等因素影響，鄰近相點的一步演化規(guī)律并不能完全真實地反映出相點XM與其演化一步后的相點XM+1之間的關系.此外，鄰近點的選取標準和選取個數(shù)等也會極大影響鄰近相點的一步演化規(guī)律是否能更加真實地反映出參考相點的一步演化規(guī)律.因此，原有預測方法難免會存在偏差，這就降低了預測性能.

為克服上述缺陷，減小預測誤差，考慮利用權值Pn對各鄰近相點的演化規(guī)律進行加權，從而準確反映出預測相點的演化規(guī)律，以鄰近相點的一步演化相點的規(guī)律來預測參考相點的一步演化相點，即以m+1個相點XMn+1的各分量加權和作為預測相點XM+1的各分量值，改進了預測式(7)，具體說明如下:

設m+1個最鄰近相點的表達式為XMn=(xMn，xMn+τ，…，xMn+(m－1)τ).由式(1)求出 m+1 個最鄰近相點對應的權值Pn，再依據(jù)式(5)、(6)求出預測參數(shù) a、b，則預測公式為

1.3 基于誤差序列的預測誤差修正

在加權一階局域預測法的預測過程中，由前一步預測所得預測值代入原時間序列后求得下一步預測值.因此，如果不對每一步的預測值進行誤差修正，存在誤差的預測值將會直接影響下一步預測值的精度，這樣逐步累積就會產(chǎn)生較大的累積誤差，影響整體的預測準確性.為減小誤差累計，本文采用基于誤差序列的誤差修正方法來進一步修正預測誤差.

2 預測步驟

步驟1 對交通流量時間序列進行混沌特性識別，確定其延遲時間τ和嵌入維數(shù)m后進行相空間重構.

步驟2 當前狀態(tài)相點XM為初始條件利用加權一階局域預測法進行預測得到預測值^xN+1.

步驟3 利用基于誤差序列的修正方法對預測值^xN+1進行誤差修正.

步驟4 將修正后的預測值^xN+1代入原時間序列，對未來值^xN+2再進行預測，以此類推不斷迭代進行多步預測.

3 空中交通流量預測實例及分析

選擇北京區(qū)域管制某扇區(qū)2016年01月06日00∶00—24∶00之間扇區(qū)的空中交通流量作為預測實例.扇區(qū)空中交通流量是指按照一定的時間間隔來統(tǒng)計在此時間范圍內扇區(qū)容納航空器的數(shù)量.其中，統(tǒng)計時間間隔也稱為時間尺度或時間序列標度，記為Δt.Δt的不同將直接影響交通流時間序列的形態(tài)特征，進而影響時間序列對系統(tǒng)特性的表達［12］.

為驗證改進預測法對按不同Δt產(chǎn)生的交通流量時間序列均適用，本文擬選取4組不同Δt的時間序列進行驗證實驗.將以一天前20 h交通流量預測后4 h為例開展研究.統(tǒng)計時間間隔太大會遮蔽在此時間范圍內流量動態(tài)變化特征，所以選擇Δt=5，7，10，15 min，生成交通流量時間序列來驗證本文預測方法是否對各時間尺度的交通流量時間序列均適用.圖1給出了各時間尺度的交通流量時間序列示意圖.

采用自相關函數(shù)法來計算時間延遲 τ［16-17］，自相關函數(shù)C(τ)=1－1/e時可以得到系統(tǒng)的最佳嵌入維數(shù).

以Δt=10 min的時間序列為例，如圖2所示，計算得到該時間序列的時間延遲τ=3.

圖1 不同時間尺度的交通流量時間序列Fig.1 Traffic flow time series at different time scales

3.1 基于關聯(lián)維數(shù)的混沌特性判別

應用分形理論中關聯(lián)維數(shù)的概念來判斷時間序列是否具有混沌特性［10-12］.分維從測度理論和對稱理論角度刻畫了系統(tǒng)的無序性和復雜性，其中關聯(lián)維數(shù)D2(m)是目前應用最廣的分維數(shù)［18-19］.對于混沌系統(tǒng)，D2(m)會隨著嵌入維數(shù)的增加而出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，即不再隨m的變化而變化［19］.關聯(lián)維數(shù)就是關聯(lián)指數(shù)隨嵌入維數(shù)增大到飽和狀態(tài)時的值，其值是對相空間中吸引子復雜度的度量.當D2(m)不是整數(shù)或者大于2時，系統(tǒng)表現(xiàn)出一種對初始條件敏感的混沌振蕩.因此，對于混沌性的識別可以通過觀察關聯(lián)維數(shù)是否具有飽和現(xiàn)象來完成.本文采用G-P算法求關聯(lián)維數(shù)［20-21］.

圖3 給出了Δt=5，7，10，15 min 的交通流量時間序列的ln Cm(r)-ln r關系圖，圖中:r為相空間中相點之間歐氏距離的閥值;Cm(r)為關聯(lián)積分函數(shù)，具體含義詳見文獻［18］.

圖2 Δt=10 min時的自相關系數(shù)函數(shù)Fig.2 The auto correlative function of Traffic flow time series of 10 min

圖3 ln Cm(r)-ln r曲線Fig.3 Curve of ln Cm(r)-ln r

圖4 為4組交通流量時間序列的關聯(lián)維數(shù)隨嵌入空間維數(shù)m的變化曲線.4組不同采樣間隔的交通流量時間序列關聯(lián)維數(shù)D2(m)隨著嵌入維數(shù)的增加均出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，且各時間尺度時間序列均滿足D2(m)不是整數(shù)或大于2的條件，這說明空中交通流表現(xiàn)出一種對初始條件敏感的混沌振蕩［18］.所以，可以判定4組時間序列均為混沌時間序列.

3.2 預測結果對比及分析

按第2節(jié)中的步驟1，分別求出4組交通流量時間序列時間延遲τ和嵌入維數(shù)m，如表1所示.依據(jù)這些參數(shù)對各組時間序列進行相空間重構.以Δt=10 min的流量時間序列為例，重構的相空間擁有102相點，進行第1步預測時的預測中心相點為X102=(9，8，11，7，3，10，8).

按照步驟2，利用本文改進的一階局域預測方法得到演化一步后的相點預測值103=(8.04，8.24，7.64，8.43，9.23，7.84，8.24)，其第 m 個分量即為第 1個 10 min內的流量預測值121.因為Δt=10 min的流量時間序列的m=7，所以21=8.24.

由1.3節(jié)介紹的方法生成誤差序列(3.04，4.24，－3.35，－1.56，6.23，－3.15)，并得到一步平滑外推值 Δx=－4.24.因此，由^'121=^X121－Δx得到修正后的預測值，即該扇區(qū)20:00—20:10這段時間內的流量值'121=12.48，步驟 3 到此結束.將預測得到的新流量值加入原流量時間序列，并不斷重復步驟4，直到最終得到所有后4 h的流量預測結果.

圖4 關聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)的變化曲線Fig.4 Curve of D2(m)with different m

表1 不同時間尺度空中交通流量時間序列的時間延遲和嵌入維數(shù)Tab.1 Time delay and Embedding dimension of Air traffic flow time series under different time scales

上述過程闡述了應用預測模型的過程，按照上述過程分別對其他3組時間序列進行預測.圖5將交通流量的預測值和實際值進行對比給出了預測結果.由圖5可知，4組不同時間尺度的交通流量預測值曲線和實際值曲線基本吻合，表明本文提出的改進型預測方法適用于不同統(tǒng)計時間間隔生成的空中交通流量時間序列預測.

為了對預測結果的準確性進行評價，采用平均絕對誤差EAAE和相對誤差ERE來衡量預測精度，即

圖6和圖7給出了4組交通流量時間序列的預測精度.由圖6、7可知，改進后的方法有效地提高了改進前方法的預測準確性.以Δt=10 min為例，改進前的預測方法ERE=0.148 1，改進后的預測方法 ERE=0.104 1，相對誤差減小了 29.7%.通過對比不同尺度的空中交通流量預測效果，有如下發(fā)現(xiàn):

(1)不同時間尺度的交通流量時間序列之間的預測誤差相差較大，說明在進行空中交通流量預測時時間尺度的選擇對預測精度有很大影響.預測模型對Δt=5，7，10 min這3組樣本數(shù)據(jù)的預測精度依次增高，當Δt=10 min時預測效果達到最好，當Δt=15 min時預測模型預測精度開始出現(xiàn)降低趨勢，預測精度較差.所以，在以后的空中交通流量預測的研究及應用中需要科學地選取適當?shù)臅r間序列標度.

(2)相對誤差隨著交通流量時間序列標度的增大而減小，而平均絕對誤差隨著交通流量時間序列標度的增大而增大.這是由兩種評價指標表現(xiàn)誤差的側重點不同造成的.流量的平均絕對誤差反映的是測量流量的可信程度，流量的相對誤差則確切地表示了預測流量值偏離真實流量值的實際大小.所以實際應用中應根據(jù)不同的預測要求，選擇不同的評價指標，從而選取能達到更理想預測效果的時間尺度的時間序列進行預測.當關注每一步預測的流量偏離值時，選用平均絕對誤差作為評價指標，此時，選擇較小時間尺度交通流量預測效果較理想.當希望預測流量的總體誤差比例更小時則選用相對誤差作為評價指標，此時，選擇較大Δt的交通流量預測效果更理想.

圖5 空中交通流量的實際值和預測值對比Fig.5 Predicted and actual values of air Traffic volume

圖6 空中交通流量預測的平均絕對誤差對比Fig.6 Comparison Average absolute error of Air traffic flow prediction

圖7 空中交通流量預測的相對誤差對比Fig.7 Comparison Relative error of Air traffic flow prediction

4 結束語

本文在混沌時間序列的加權一階局域預測方法的基礎上提出了一種臨近相點演化加權的改進預測方法，并將其應用到空中交通流量預測領域.此外，還引入了基于誤差序列的誤差修正方法對預測誤差進行修正，在一定程度上修正了預測誤差，減小了預測過程中誤差的累積.預測實例中利用G-P算法求出時間序列的關聯(lián)維數(shù)，發(fā)現(xiàn)其隨著嵌入維數(shù)的增加而出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，證明了空中交通流量時間序列存在混沌特性.隨后采用改進預測方法對樣本混沌流量時間序列進行4 h預測，結果表明改進的加權一階局域預測方法不僅能夠有效預測交通流量且提高了預測精度.

研究過程中發(fā)現(xiàn)該預測方法還有許多值得深入探究之處，例如是否相點間歐氏距離越小其演化趨勢就越相似，所以最鄰近點的選擇方法必須科學反映相點間的鄰近程度［14］，改進歐式距離法使其能更科學地反映鄰近點和預測中心點關聯(lián)程度.此外，統(tǒng)計間隔對結果的影響本文只是做了簡單的定性分析，研究發(fā)現(xiàn)空中交通流量時間序列相鄰采樣點間存在較強的自相關性，統(tǒng)計間隔對預測精度影響的內在機理還有待在日后的研究工作中深入研究.

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