SKT不變凸非線性規(guī)劃的鞍點(diǎn)特征研究

謝小鳳+李澤民+周宗放

摘 要 首先提出了一類新的非線性規(guī)劃-SKT不變凸非線性規(guī)劃（簡(jiǎn)稱SKT不變凸）.其次，在實(shí)線性賦范空間的基礎(chǔ)上，給出了Fritz-John點(diǎn)和Fritz-John鞍點(diǎn)，Kuhn-Tucker點(diǎn)和Kuhn-Tucker鞍點(diǎn)的概念，并初步探討了兩類鞍點(diǎn)的特征.最后，圍繞SKT不變凸及似凸的概念對(duì)鞍點(diǎn)的特征做了進(jìn)一步的拓展.

關(guān)鍵詞 SKT廣義不變凸；似凸；非線性規(guī)劃；F-J鞍點(diǎn)；K-T鞍點(diǎn)；充要條件

中圖分類號(hào) F273.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract A new class of nonlinear programming，i.e.， SKT invariant convex nonlinear programming （abbreviated as SKT invariant convex） ，was proposed.On the basis of the real linear normed space， the concepts of Fritz-John point and Fritz-John saddle point， Kuhn-Tucker point and Kuhn-Tucker saddle point were given， and the characteristics of the two saddle points were discussed.Finally， based on the concept of SKT invariant and quasi convex， the characteristics of saddle points were further extended.

Key words SKT generalized invariant convex； pseudo-convex； nonlinear programming；F-J saddle point；K-T saddle point； necessary and sufficient condition

1 引 言

非線性規(guī)劃是指具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的一類數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支.H.W.庫恩和A.W.塔克于1951年發(fā)表了最優(yōu)性條件（后來稱為庫恩-塔克條件）的論文，標(biāo)志著非線性規(guī)劃正式誕生.近年來，隨著學(xué)科間交叉融合及數(shù)學(xué)理論邊界不斷擴(kuò)展，非線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)、管理及工程等方面都有廣泛的應(yīng)用，為最優(yōu)決策提供了有力的理論支撐.

由于凸性及廣義凸性在經(jīng)濟(jì)管理及企業(yè)決策等領(lǐng)域所起的重要作用，關(guān)于凸性及廣義凸性的研究方興未艾.諸多學(xué)者提出不同的廣義凸非線性規(guī)劃概念，并借助所提出的廣義凸理論來研究各類規(guī)劃問題及鞍點(diǎn)問題.劉彩平和楊新民（2007）[1]提出了兩類新的廣義凸函數(shù)強(qiáng)預(yù)擬不變凸函數(shù)與強(qiáng)擬不變凸函數(shù)，并討論了強(qiáng)預(yù)擬不變凸函數(shù)與強(qiáng)擬不變凸函數(shù)間的關(guān)系，強(qiáng)擬不變凸函數(shù)與強(qiáng)偽不變凸函數(shù)間的關(guān)系，最后研究了強(qiáng)預(yù)擬不變凸函數(shù)在多目標(biāo)優(yōu)化中的應(yīng)用.王立柱（2008）[2]討論了非線性優(yōu)化中Lagrange函數(shù)的鞍點(diǎn)問題，證明了凸規(guī)劃在一定的約束規(guī)格下鞍點(diǎn)總是存在的，可以通過求解鞍點(diǎn)問題來求凸規(guī)劃的最優(yōu)解，并在不等式約束條件下給出了求解鞍點(diǎn)的一個(gè)迭代方法.王彩玲（2011）[3]首先肯定了優(yōu)化理論中鞍點(diǎn)定理的重要作用，并提出鞍點(diǎn)定理的成立主要依賴于各類廣義凸函數(shù)，如Hanson的不變凸函數(shù)及Tanaka的本性偽凸函數(shù).在此基礎(chǔ)上，她通過對(duì)向量值函數(shù)定義一類復(fù)合Q-ρ不變凸函數(shù)和S-δ不變凸函數(shù)，將該類廣義凸函數(shù)應(yīng)用到非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問題上，得到并證明了非光滑復(fù)合Q-ρ不變凸和S-δ不變凸多目標(biāo)規(guī)劃的復(fù)合向量鞍點(diǎn)定理.何炳生和申遠(yuǎn)（2012）[4]指出具有線性約束的凸規(guī)劃問題及鞍點(diǎn)問題的一階最優(yōu)性條件本質(zhì)上是一個(gè)單調(diào)的變分不等式，在變分不等式框架下求解這些問題，如能選取適當(dāng)?shù)木仃嘒，采用G-模下的PPA算法，將會(huì)使迭代過程中的子問題求解變得相當(dāng)容易，研究表明這類定制的PPA算法的誤差界有1/k的收斂速率.

綜上所述，在現(xiàn)有關(guān)于廣義凸非線性規(guī)劃的研究文獻(xiàn)[5-9]中，較多學(xué)者聚焦于鞍點(diǎn)問題的研究，其中多數(shù)為針對(duì)鞍點(diǎn)性質(zhì)及鞍點(diǎn)求解方法的研究，還鮮見針對(duì)廣義不變凸非線性規(guī)劃的鞍點(diǎn)特征研究.基于此，首先提出了一類新的非線性規(guī)劃-SKT不變凸非線性規(guī)劃，在實(shí)線性賦范空間的基礎(chǔ)上，給出了Fritz-John點(diǎn)和Fritz-John鞍點(diǎn)，Kuhn-Tucker點(diǎn)和Kuhn-Tucker鞍點(diǎn)的概念，并初步探討了兩類鞍點(diǎn)的特征.最后，圍繞SKT不變凸及似凸的概念對(duì)鞍點(diǎn)的特征做了一些拓展.由于對(duì)鞍點(diǎn)的求解一直以來是一個(gè)難點(diǎn)問題，通過對(duì)鞍點(diǎn)的特征研究來剖析鞍點(diǎn)的性質(zhì)應(yīng)該是一項(xiàng)有意義的工作.

5 結(jié) 論

文章圍繞SKT不變凸非線性規(guī)劃問題對(duì)鞍點(diǎn)的特征展開了一系列的研究，在實(shí)線性賦范空間的基礎(chǔ)上，給出了兩類鞍點(diǎn)Fritz -John鞍點(diǎn)和Kuhn-Tucker鞍點(diǎn)的概念，探討了兩類鞍點(diǎn)的特征；進(jìn)一步，圍繞SKT不變凸及似凸的概念對(duì)鞍點(diǎn)的特征做了拓展.

雖然關(guān)于鞍點(diǎn)的性質(zhì)和求解方法諸多學(xué)者研究頗多，但如何找到鞍點(diǎn)一直以來是一個(gè)難題.通過分析鞍點(diǎn)的特征來了解鞍點(diǎn)的性質(zhì)，在一定程度上能對(duì)鞍點(diǎn)求解難的現(xiàn)狀起到一定的彌補(bǔ)作用.但本文的研究結(jié)論難以直接解決鞍點(diǎn)的求解問題，如何求解出SKT不變凸非線性規(guī)劃問題的鞍點(diǎn)將是作者下一步的研究工作.

參考文獻(xiàn)

[1] 劉彩平，楊新民.強(qiáng)預(yù)擬不變凸函數(shù)與強(qiáng)擬不變凸函數(shù)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2007，24（4）：414-419.

[2] 王立柱.非線性優(yōu)化中關(guān)于鞍點(diǎn)及對(duì)偶問題的研究[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，26（3）：272-274.

[3] 王彩玲.非光滑凸多目標(biāo)規(guī)劃的鞍點(diǎn)定理[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理工版），2011，49（4）：693-695.

[4] 何炳生，申遠(yuǎn).求解凸規(guī)劃及鞍點(diǎn)問題定制的PPA算法及其收斂速率 [J].中國(guó)科學(xué)：數(shù)學(xué)，2012，42（5）：515-525.

[5] 趙勇，彭再云，劉頂峰，等.半B-（ p，r） -預(yù)不變凸函數(shù)與非線性規(guī)劃問題[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，13（2）：153-159.

[6] 李花妮，路俊勇.G-KKT-不變凸非線性優(yōu)化問題[J].西南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，35 （5）：352-354.

[7] 李師正.多目標(biāo)規(guī)劃的鞍點(diǎn)準(zhǔn)則[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)， 2003， 20（1）：80-83.

[8] 袁松琴，李澤民.線性等式約束多目標(biāo)規(guī)劃的一個(gè)降維算法[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，2005，9（1）：70-74.

[9] 沈海龍，邵新慧，張鐵，等.求解鞍點(diǎn)問題的修正SOR-like方法[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，30（6）：905-908.

[10]王傳濤.序線性空間中向量?jī)?yōu)化問題的K-T型定理[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2006，23（3）：307-310.

[11]姜林，李澤民.G-（F，ρ）凸性下的非光滑多目標(biāo)分式規(guī)劃弱廣義Lagrange鞍點(diǎn)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2007，24（1）：82-86.

[12]CAO Yang， MIAO Shu-xin，CUI Yan-song.A relaxed splitting preconditioner for generalized saddle point problems [J].Computational and Applied Mathematics， 2015， 34 （3）：865-879.

[13]黃龍光，劉三陽.向量映射的鞍點(diǎn)和Lagrange對(duì)偶問題[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2005，25（4）：398-405.endprint