MCP模型在嘉陵江小河壩站洪水概率預報中的應用

王艷蘭，梁忠民，蔣曉蕾，王 軍，李彬權

(河海大學水文水資源學院，江蘇南京210098)

0 引 言

洪水預報是防汛調度的重要決策依據。但洪水預報過程中存在著眾多不確定性因素，導致洪水預報結果的不確定性[1- 2]。為此，提供洪水概率預報，不僅可以估計發生超過某一量級洪水的概率、提供置信區間以評估洪水預報的可靠度；而且還可以類似于確定性模型的定值預報，提供分位數預報(如均值或中位數)，為防洪調度提供更豐富的預報信息，以提高洪水預報能力。

在水文不確定性分析及洪水概率預報中，貝葉斯理論得到較多研究與應用[3-5]。美國學者Krzysztofowicz等[4]提出的貝葉斯預報系統(Bayesian Forecasting System，BFS)，在確定性預報的基礎上耦合貝葉斯方法實現概率預報。其中，水文不確定性處理器[5](Hydrologic Uncertainty Processor，HUP)是BFS的重要組成部分。它對實測及預報流量過程經過亞高斯正態分位數轉化后的系列進行了線性-正態假設，進而推求出預報量后驗分布的解析表達。王善序[6]系統地介紹了BFS方法體系，認為其能綜合考慮各種隨機因素對水文預報的影響，能與任意的水文模型進行耦合；同時，也指出該法只適用于線性-正態假設條件。張宇等[7]在新安江模型預報結果的基礎上，采用HUP實現概率預報，并認為不同量級洪水概率預報后驗分布的Cv不同，Cv一般隨流量增大而減小，因此有利于洪峰的概率預報。邢貞相等[8]采用BP神經網絡構建先驗分布和似然函數，能較好地模擬水文過程的非線性特征，并用MCMC方法求解得到概率預報結果。此法雖可以描述水文過程的非線性特征，但仍需進行正態假定。為此，劉章君等[9]構建了Copula-BFS模型，利用Copula函數描述流量先驗分布及似然函數并推導了解析表達式，通過數值方法求解后驗分布，不需要進行線性-正態假設。近年來，一些研究表明，不同流量量級的預報不確定性存在差異，Todini等[10]提出了模型條件處理器(Model Conditional Processor，MCP)，采用截斷正態聯合分布(Truncated Normal Joint Distributions，TNDs)[11]表征不同流量量級時預報值與實測值的關系，其本質亦是一種貝葉斯方法。

本文以嘉陵江(射洪—小河壩斷面)為研究區域，采用MCP方法進行概率預報研究。選擇新安江模型作為確定性模型以提供初始預報結果，根據實測及初始預報數據，估計不同量級預報變量的條件概率分布，實現概率預報。

1 方法原理

MCP是基于洪水測量信息與確定性模型預報信息的聯合概率分布，通過非參數變換技術，將預測不確定性投影至正態空間中，在Bayes理論框架下，可以推求預報量的條件概率分布函數。同時，通過點繪初始預報值與實測值的分位數關系圖，發現高流量的離散程度較低流量更低，點據更集中，為此采用截斷正態分布(TNDs)的方法來描述不同量級洪水預報誤差的差異，最終推求得不同量級預報水位或流量的條件概率分布，并將其求得的分位數反變換到原始空間以實現洪水概率預報。

1.1 MCP原理

(1)

(2)

(3)

其均值和方差為

(4)

在正態空間里估計得到預報量的條件概率密度函數后，再通過逆變換得到其任一分位數在原始空間中對應的變量值。即，預報流量值。

1.2 分段聯合正態分布

在MCP方法[10]中，引入截斷正態分布(TNDs)以處理預報誤差的異方差性問題，在正態空間通過點繪實測系列和初始預報系列轉換值的關系圖可知，高流量和低流量的離散程度是不同的，且存在較為明顯的分界點；因此可分段考慮。即，假設在正態空間的聯合分布不是唯一的，可以將聯合分布分為兩個(或多個)TNDs。

(5)

(6)

式中，m和s是非截斷分布的均值和標準差。

(7)

(8)

(9)

均值和方差為

(10)

根據上述推求的條件概率密度函數及其分布特征，即可實現洪水的概率預報。

表1 新安江模型確定性預報精度統計

2 應用實例

射洪-小河壩區間流域位于嘉陵江支流的涪江流域，小河壩是其出口控制站。該區間流域面積5 846 km2，河道長185 km，流域如圖1所示。本文首先采用新安江模型得到小河壩站的確定性洪水預報結果，再采用MCP方法推求以該確定性預報為條件的預報量的概率分布，實現小河壩站的洪水概率預報。

圖1 射洪—小河壩區間流域示意

2.1 基于新安江模型的確定性預報

新安江模型[12]是一個分散式的概念性水文模型，已廣泛應用于我國濕潤和半濕潤地區的洪水預報。本次選用1980年～2003年的降雨、蒸發和流量資料進行模型的率定與驗證，其中使用最近的6年資料進行了日模型的率定，選取了較大的8場洪水進行次洪模型率定，采用2001年和2003年的2場洪水進行模型驗證。計算步長Δt=6 h，洪水預報精度統計結果見表1。

從表1可知，洪峰和洪量誤差均在20%以內，率定期和驗證期的確定性系數均大于0.8，表明新安江模型具有較高的預報精度。

2.2 MCP方法應用

表2 y和的對數威布爾分布參數估計值

圖經驗點分布與相應的對數威布爾分布

率定與檢驗洪號置信度90%的預報區間覆蓋率CR/%離散度DI實測洪峰/m3·s-1Q50洪峰預報/m3·s-1Q50洪峰誤差/%Q50確定性系數率定19800625[5390，9500]80770655650613986609819820705[5270，9270]76620565530599584009819850904[6290，11200]963006776007176-55809919870716[7060，12600]97960557740806441809919950809[8570，15400]7931065103009808-47709319970813[6330，11200]794905074807225-34109919980817[13600，25000]60000461880015651-167509519990814[3350，5750]905706446903790-1918083驗證20010816[7150，12800]648605682708168-12309520030827[6960，12400]876706277007954330095

2.3 結果分析

將前述10場洪水的新安江模型預報結果與實測值作為MCP模型的輸入，實現洪水概率預報，并采用熊立華等[15]提出的區間覆蓋率與離散度兩個指標對預報的可靠度進行評估(區間覆蓋率越大、離散度越小說明模型預報的可靠度越高，即不確定性越小)。從表4可以看出，MCP提供的置信度90%的預報區間，平均覆蓋率達80%以上，離散度平均低于0.6；如果以概率分布的中位數作為定值預報結果，其精度整體高于新安江模型。圖5和圖6為其中兩場洪水(19850904、20030827)新安江模型、MCP模型預報結果與實測流量的對比圖，其中，MCP的結果是以50%分位數和90%置信區間表示。

表3 正態空間中分位數回歸方程結果

圖3 η和 的散點

圖4 η和 的分位數回歸關系

MCP通過預報流量的條件概率密度函數，所以可以提供具有一定置信度的區間預報，對確定性預報結果的可靠度進行評估；同時，也可以采用分布的某一分位數(如中位數)作為定值預報結果，豐富了洪水預報信息。本例中，采用中位數作定值預報，與初始的新安江模型預報結果相比，其確定性系數、洪峰誤差都整體有所提高。究其原因，是由于MCP模型考慮了不同量級洪水預報誤差的差異，將其分段處理；而且，預報量的條件概率密度函數是利用貝葉斯理論推導得到，后驗分布所具有的信息耦合功能，一定程度上對預報產生了修正效果，從而提高了洪水預報精度。

圖5 19850904號次洪均值預報及90%置信區間預報

圖6 20030827號次洪均值預報及90%置信區間預報

3 結 語

(1)不同量級洪水，其預報誤差分布規律不同。MCP模型現將預報誤差按流量大小分級，再采用截斷正態分布估計各量級下的誤差分布函數，最終推求以確定性預報為條件的預報量的概率密度函數，從而實現洪水的概率預報。

(2)MCP模型提供的概率預報具有較好的預報效果，即較大的區間覆蓋度和較小的預報離散度。以MCP模型提供的中位數預報作為定值預報，與新安江模型的預報相比，其預報精度整體上有進一步的提升。

(3)MCP模型對確定性預報模型不需附加任何限定，即可與任意的確定性模型相耦合以實現洪水概率預報。但為公式推導方便，對流量系列進行了正態分位數變換和反變換處理，一定程度上可能引入估計誤差，有待進一步研究。

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