導數中的優化問題在經濟研究中的具體應用

摘 要：文章從“利用導數解決生活中的優化問題”的概念出發，對經濟問題進行分析決策，并對目前經濟活動中常見的問題進行了應用分析，包括最優利潤、最佳時間、消費者剩余和預測市場結果，市場受到干預所發生的變化等。

關鍵詞：導數；優化問題；分析應用；經濟分析

在經濟研究中，經常要運用經濟數學對某個問題進行市場分析、判斷并做出理論研究。本文從生產建設和科技活動中對導數解決生活中的優化問進行探討。

一、 優化問題

在日常生活，生產建設和科技活動中，做一件事總要付出一定的代價，也總想取得一定的效果。

在付出代價一定的條件下，我們總想取得最好的效果；在預期效果確定的情形下，我們總想只付出最小的代價。

利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟

不少優化問題，可以化為求函數最值問題，導數方法是解這類問題的有效工具。

利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟是：

（1）分析實際問題中各量之間的關系，利用實際問題的數學模型構造，寫出實際問題中變量之間的函數關系y=f（x）；

（2）求函數的導數f′（x），解方程f′（x）=0；

（3）比較函數在區間端點和使f′（x）=0的點數值的大小，最大（小）者為最大（小）值。

二、 生活中的優化問題常見類型

（1）費用最省問題；

（2）利潤最大問題；

（3）面積、體積最大問題。

解決應用問題中的優化問題應當注意的問題：

假定函數f（x）可微

（1）如果函數f（x）在[a，b]（或（a，b），或無窮區間）的內部只有一個駐點，而這個駐點是極值點，如是極大（小）值點，那么它就是最大（小）值點；

（2）分析實際問題知道，函數f（x）在所考慮的區間內（可以是開區間或無窮區間），而區間內只有一個駐點，有最大值（或最小值）。

在準確理解題意的基礎上正確建立數學模型，在實際問題中的定義域內找出問題的最優解。

在解決實際優化問題時，我們不難發現，解決優化問題的基本思路是：

優化問題用函數表示數學問題

↓

優化問題的答案用導數解決數學問題

三、 實例分析

1. 要設計一個體積為V的有蓋圓柱形鐵桶，已知側面的單位面積造價是底面單位面積造價的一半；而蓋的單位面積造價又是側面單位面積造價的一半，問圓柱形鐵桶的半徑r和高h之比為何值時造價最省？

解析：解答本題的關鍵圓柱形鐵桶的造價表示為r（或h）的函數，建立適當的數學模型。

解答：由V=πr2h，的h= Vπr2，

設蓋的單位面積造價為a，則圓柱形鐵桶的造價為

S=aπr2+2a·2πrh+4a·πr2=5aπr2+4aVr

由S′=10aπr-4aVr2=0

解得r=32V5π，于是h=Vπr2=325V4π

由問題的實際意義，上述S的唯一可能極值點就是S的最小值點。

∴當rh=32V5π325V4π=25時，圓柱形鐵桶的造價最省。

解析：造價問題來自于實際規定，解答這類問題的關鍵是正確分析造價的構造及相關變量，從而正確地建立目標函數。

2. 已知某場生產x件產品的成本為c=25000+200x+140x2（元）。

（1）要使平均成本最低，應生產多少件產品？

（2）若產品以每件500元售出，要使利潤最大，應生產多少件產品？

答案：（1）設平均成本為y元，則

y=25000+200x+140x2x=25000x+200+x40（x0）

y′=25000x+200+x40′=25000x2+140

令y′=0，得x1=1000，x2=-1000（舍去）

當在x=1000附近左側時，y′<0；在x=1000附近右側時，y′>0，故當x=2時，y取得最小值。由于函數只有一個點使y′=0，且函數在該點有極小值，那么在該點取得最小值，因此要使平均成本最低，應生產1000件產品。

（2）利潤函數為L=500x-25000+200x+x240=300x-25000-x240

∴L′=300x-25000-x240′=300-x20

令L′=0，得x=6000，當x在6000附近左側時，L′>0時，當x在6000附近右側時，L′<0。故當x=6000時，L取得最大值。由于函數只有一個使L′=0的點，且函數點有極大值，那么函數在該點取得最大值。因此，要使利潤最大，應生產6000件。

利用導數解決生活中的優化問題，是在實際問題中正確建立數學模型，在數學模型的定義域內找出問題的最優解，使經濟分析走向定量化、精密化和準確化，給企業策劃者提供客觀、精確的數據。

參考文獻：

[1]高中數學選修1-1（文）“第三章 導數及其應用”[G].

[2]高然.導數在高中數學中的應用[G].數學學習與研究，2014.

[3]黎詣遠.經濟數學基礎[M].高等教育出版社.

作者簡介：

張清良，湖南省吉首市，吉首大學民族預科教育學院。endprint