機械能守恒定律服從力學相對性原理的思考

摘 要：機械能守恒定律是否服從力學相對性原理，曾經(jīng)是物理學上存在廣泛爭議的問題。筆者從興趣出發(fā)，通過查閱相關(guān)研究資料，結(jié)合自身的學習和理解，對機械能守恒定律服從力學相對性原理的條件進行分析。

關(guān)鍵詞：機械能守恒定律；力學相對性原理；服從性

一、 前言

力學相對性原理指出，在不同慣性系中，力學規(guī)律具有相同形式。即對S系中的基本表達式進行單純加撇代換，即可得到S′系中的對應(yīng)表達式。如果S系中的功能原理表達式也可以通過單純的加撇變換得到S′系中的功能原理表達式，則說明功能原理服從力學相對性原理。而機械能守恒定律是只有保守力做工的功能原理，有必要對其與力學相對性的服從性進行探討。

二、 機械能守恒定律服從力學相對性原理的條件

（一） 功能原理的服從條件

在一個保守力學系統(tǒng)中，慣性系S的第i個支點矢量位置為ri，所受的非保守外力為Fi，系統(tǒng)內(nèi)力為fi，根據(jù)牛頓定律有Fi+fi=midvi/dt。將上式兩邊同時乘以質(zhì)點i的相對位移，可得到Fi·dri+fi·dri=mivi·dvi=d（miv2i/2）。對系統(tǒng)中的所有質(zhì)點進行求和，即可得到∑iFi·dri+∑ifi·dri=d∑i（miv2i/2）。在保守系統(tǒng)中引入是能概念，則有∑iFi·dri=d∑i（miv2i/2+Ep），即S系統(tǒng)的功能原理。取另一個慣性系S′，設(shè)其相對于S系統(tǒng)的速度為u，對S系統(tǒng)中的功能原理進行伽利略變換，即∑iFi·dri=∑iFi·（dri′+udt）=∑iFi·dri′+（∑iFi）·udt。由此可以得出，外力對系統(tǒng)做工與參考系有關(guān)。對d∑i（miv2i/2）進行伽利略變換，可以得到d∑i（miv2i/2）=d∑i（miv2i′/2）+（∑iFi）·udt，說明動能改變也與參考系有關(guān)。

對dEp進行伽利略變換，并代入上述公式，可以得到∑iFi·dri′=d[∑i（miv2i′/2）+Ep′]，與∑iFi·dri=d∑i（miv2i/2+Ep）相比僅僅是由加撇變量代替了原變量，因此功能原理遵循力學相對性原理。

（二） 機械能守恒定律的服從條件

機械守恒定律是只有定律是只有保守力做工的動能原理，非保守力不做工，或做工之和為0，即∑iFi·dri=0。將這個條件代入上述伽利略變化的推導(dǎo)過程，中間可以得到d[∑i（miv2i/2）+Ep]=0，和d[∑i（miv2i′/2）+Ep′]=0，不能利用伽利略變換將前一個表達式轉(zhuǎn)化為后一個表達式，因此機械能守恒定律不一定服從力學相對定律。只有在（∑iFi）·udt=0成立時，才能通過伽利略變換，由d[∑i（miv2i/2）+Ep]=0得到d[∑i（miv2i′/2）+Ep′]=0。由此可以得出結(jié)論，系統(tǒng)在某慣性系中如果滿足∑iFi的方向與u的方向垂直，或∑iFi為0，則機械守恒定律服從力學相對性原理。

三、 機械能守恒定律服從力學相對性原理的例題分析

（一） 水平運動體系的服從性分析

在本文中，為了能夠清楚地分析水平運動體系的服從性，根據(jù)物理課程中的機械能守恒定律，將會通過以下例題進行系統(tǒng)的描述：

【例1】 某車廂以速度u在水平面沿某一方向做運動，同時在車廂中的光滑水平面上存在一個彈簧，其勁度系數(shù)用k表示。此時，彈簧的兩端各連接著一個小球，質(zhì)量分別為M、m。在開始的過程中，需要將彈簧壓縮至△x以后，以靜止的狀態(tài)釋放，當其恢復(fù)至原始狀態(tài)時，兩個小球與車廂的相對速度分別用v1、v2表示。在研究水平運動體系的服從性時，需要將車廂中彈簧、兩個小球所構(gòu)成的一個整體為具體的研究對象，那么在這個整體中，其運動產(chǎn)生的機械能量守恒定是否服從力學相對性原理，具體的分析內(nèi)容如下：

在此題中，該系統(tǒng)受到的非保守力F，即兩個小球所受的桌面支持力垂直于相對速度u，該系統(tǒng)中機械能守恒定律服從力學相對性原理。設(shè)車廂的參考系為S，在參考系S中，系統(tǒng)的機械能守恒，可以得出E1=E2，因此系統(tǒng)在參考系S中的機械能守恒定律的表達式為k（Δx）2/2=mv21/2+Mv22/2。以地面為參考系，在地面參考系S′中，系統(tǒng)的機械能也守恒，即E1′=E2′，初態(tài)E1′=（M+m）u2/2+k（Δx）2/2，末態(tài)E2′=M（u+v2）u2/2+m（u-v1）2/2=（M+m）u2/2+Mv22/2+mv21/2+（Mv2-mv1）u。根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒可以得出v2=mv1/M。再將v2=mv1/M代入上一表達式，可以得到E2′=（M+m）u2/2+Mv22/2+mv21/2。最后將其代入E1′=E2′，即可得到參考系S′中的機械能守恒定律表達式，即k（Δx）2/2=mv21/2+Mv22/2，由此可以得出結(jié)論，在該系統(tǒng)中，機械能守恒定律服從力學相對性原理。

（二） 斜面運動體系的服從性分析

斜面運動是高中物理課程中重要的內(nèi)容，學習難度也較大。那么，在斜坡運動中的機械能守恒定律是否服從力學相對性原理是學習中遇到的難題，下面通過例2進行具體解析：

【例2】 某車廂在水平面上，以速度等于v0的狀態(tài)勻速的向右行駛。在該車廂中，存在一個的被固定的、傾斜角度等于θ的光滑斜面，上面存放著一塊質(zhì)量等于M的滑塊從斜面的頂端自由花滑落（在計算過程中可以將其看做一個質(zhì)點）。將斜面與滑塊視為一個系統(tǒng)，分析機械能量守恒定是否服從力學相對性原理？

在該題中，若以滑塊和斜面作為研究對象，那么在車廂參考系中，系統(tǒng)所受非保守力Fi，即斜面對滑塊的支持力對滑塊不做功，由此可以判斷系統(tǒng)機械能守恒。而在地面參考系中，由于非保守力Fi不與滑塊位移垂直，因此非保守力Fi對系統(tǒng)做功了，在該參考系中機械能不守恒。與前文得到的結(jié)論相同，即非保守力Fi不為零且不與相對速度u垂直時，機械能守恒定律不服從力學相對性原理。

四、 結(jié)束語

綜上所述，通過對機械能守恒定律服從動能相對性原理的條件進行思考，可以加深我們對機械能守恒定律的理解，從而把握好應(yīng)用條件，避免出錯。

參考文獻：

[1]付喜錦.機械能守恒定律遵循力學相對性原理的條件[J].物理教師，2010，31（01）：63-64.

[2]張九鑄.關(guān)于力學相對性原理和機械能守恒定律的討論——也談機械能守恒定律和相對性原理[J].大學物理，2000，（02）：14-22.

作者簡介：

馬凱，遼寧省北票市，遼寧省北票市高級中學。endprint