對解析幾何問題的幾個熱點題型探究

王斯諾

解析幾何涉及高中必修2和選修中相關內容，圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分。其主要內容包括圓錐曲線的軌跡方程，直線與曲線的位置關系，定點、最值、范圍問題，存在探索性問題等。

解析幾何題型考查的主要內容 ：

項目 主 要 問 題 內 容

橢圓、面積最值問題 圓的一般方程、直線與橢圓的位置關系、最值問題

直線與橢圓的關系、弦長公式、范圍問題

直線與橢圓的關系、定值問題、與存在性問題

橢圓的標準方程、離心率、直線與圓的位置關系、點到直線的距離

直線與橢圓的綜合問題

雙曲線與拋物線 直線與拋物線相切，拋物線的性質

拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系、軌跡方程

以上是解析幾何問題中涉及的基本內容，需要首先掌握解析幾何的基本知識，在解析幾何的基本知識的基礎上，可對解析幾何涉及的幾種題型做做深入探究。

二、解析幾何四種題型的解析：

（一）、題型一：求軌跡方程

基本步驟：建系——設點——列式——化簡——驗證

方法分析：一般有三種方法。第一是直接法，就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數方程。第二是定義法，從曲線定義出發直接寫出方程。定義法和待定系數法適用于已知曲線類型。第三是代入法，先設出動點坐標P（X，Y），尋求動點P（X，Y）與已知動點Q（X′，Y′）的關系，建立P、Q兩座標間的關系，并表示出（X′，Y′），將X′，Y′代入已知曲線方程化簡求解。

以下題為例對求軌跡方程這類題型進行解析。

例：設圓X2+Y2+2X-15=0的圓心為A，直線L過點B（1，0）且與X軸不重合，L交圓A于C、D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E（1）證明：∣EA∣+∣EB∣為定值并寫出點E的軌跡方程。

（2）設點E的軌跡為曲線G，直線L交G于M、N兩點，過B且與L垂直的直線與圓A交于P、Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

分析此題以圓為背景，題干信息∣EA∣+∣EB∣為定值，即可將∣EA∣+∣EB∣與圓的半徑r相聯系，∣EA∣+∣EB∣為定值，A、B為定點，E的軌跡方程即為橢圓，即可求解。

解析：1、因為：∣AD∣=∣AC∣ EB∥AC

推出：∠EBD=∠ACD=∠ADC

推出：∣EB∣=∣ED∣

∣EA∣+∣EB∣=∣EA∣+∣ED∣=∣AD∣

根據：X2+Y2+2X-15=0 推出 （X+1）2+ Y2=16

得出：∣AD∣=4

推出：∣EA∣+∣EB∣=4

A（-1，0） B（1，0） ∣AB∣=2

由橢圓的定義得出：E點的軌跡方程為X2/4+ Y2/3=1（Y≠0）

2、當L與X軸不垂直時，設L：y=k（x-1）（k≠0） M（X1 Y1） N（X2 Y2）在此處鍵入公式。

Y=k（X-1） 且 X2/4+ Y2/3=1

則 X1+ X2=8k2/（4 k2+3）

X1* X2=（4 k2-12）/ （4 k2+3）

所以：∣MN∣=12（k2+1）/（4 k2+3）

過點B（1，0）且與L垂直的直線m：y=-1/k（x-1）

A到MD的距離2/√（k^2+1）

所以∣PQ∣=4√（〖（4k〗^2+〖3）/（k〗^2 ）+1）

所以SMPNQ=1/2∣MN∣*∣PQ∣=12√（1+1/（4k^2+3））

L與X軸垂直時，X=1 ∣MN∣=3 ∣PQ∣=8 S=12

通過以上分析計算，四邊形MPNQ面積的取值范圍（12，8√3）

（二）、題型二：定點、定值

對于此題型有兩種解題策略，第一特殊探求，一般證明；第二假設定點坐標，根據題意選擇參數，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數無關，故得到一個關于定點的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點。

以下題為例對求定點、定值這類題型進行解析。

例：已知橢圓y2/a2+ x2/b2=1 （a>b>0）的兩個焦點為F1、F2，離心率為 √2/2，直線L與橢圓相交于A（x1， y1） B（x2， y2）兩點，且滿足∣AF1∣+∣AF2∣=4√2，O為坐標原點。

求橢圓方程。

設m=（x1/b，y1/a），n=（x2/b ，y2/a），若m*n=0，試問△AOB的面積是否為定值，如果是，請給予證明；如果不是請說明理由。

問題一可以通過橢圓的定義進行解析，問題二可以通過“設而不求”的解題方法解析。

解析：1、因為 2a=∣AF1∣+∣AF2∣=4√2

所以 a=2√2

因為 橢圓y2/a2+ x2/b2=1 （a>b>0）的兩個焦點為F1、F2，離心率為 √2/2

得出 ： c/a=√2/2 c=2

b2=a2-c2=4

橢圓方程為： y2/8+ x2/4=1

2、當AB與X軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m

y= kx+m 且2x2+y2-8=0

推出： （2+k2）x2+2kmx+m2-8=0

由題意知：△=4k2m2-4（2+ k2）（m2-8）>0

即8*（4k2- m2+8）>0

所以 x1+x2=-2km/（2+k2） x1* x2=（m2-8）/（2+k2）endprint

又由m*n=0 得出（x1/b）*（ x2/b）+（y1/a）*（y2/a）=0

所以x1*x2/4+ y1 y2/8=0

y1 y2=2（m2-4 k2）/（2+ k2）

所以 （m2-8）/（2+ k2）+（m2-4 k2）/（2+ k2）=0

所以 2 k2+4= m2

∣AB∣=√（（1+ k^2）） *√（8*（4k^2 m^2+8） ）/（2+k^2）

點O到直線AB的距離 d=∣m∣/√（1+k^2 ）

S△AOB=1/2∣AB∣*d=2√2

當AB與X軸垂直時，x1=x2 y1=-y2

則x12/4- y12/8=0 x12/4+ y12/8=1

推出：x1=√2 y1=2或-2

A（√2，2） B（√2，-2） d=√2

S△AOB=1/2∣AB∣*d=2√2

通過上述解析，可以推出△AOB的面積為定值2√2。

（三）、題型三：最值范圍問題

這類題型有兩種解決方法：第一種是代數法，通過建立函數、不等式等模型，利用二次函數法、基本不等式、換元法、導數法，或利用判別式構造不等關系，利用隱含或已知的不等關系建立不等式等方法求最值范圍。第二種是幾何法，根據圓錐曲線的幾何意義求最值。求參數范圍的常用方法有函數法、不等式法、判別式法。

（四）、題型四：圓錐曲線的探索性問題

這類題型有如下的解決方法：第一：是否存在常數的問題，應首先假設存在，看是否能求出符合條件的參數值，如果推出矛盾就不存在。第二：是否存在點的問題，可依據條件，直接探究其結果，也可以舉例然后再證明。第三：是否存在直線問題，可依據條件尋找適合條件的直線方程，聯立方程，消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解。

以下題為例對求最值范圍這類題型進行解析。

例：已知橢圓C：：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為e=1/2，點A為橢圓上一點，∠F1 AF2=600且S△F1 AF2=√3

求橢圓C的方程。

設動直線L：y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，問X軸上是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過定點M？若存在，求坐標；若不存在，請說明理由。

根據以上題意，解析：1、由：c/a=1/2 且 ∣AF1∣+∣AF2∣=2a 且1/2∣AF1∣*∣AF2∣sin?〖〖60〗^0 〗=√3 且{（AF1）2+（AF2）2-（F1 F2）2}/2∣AF1∣*∣AF2∣=cos?〖〖60〗^0 〗=1/2

推出：a2=4 b2=3

推出：橢圓C的方程為：x2/4+y2/3=1

以上是在學習解析幾何中經常遇到的四種題型，它們的特點是有較大的計算量，但思路都比較簡單單一，只要我們掌握了上述四種題型的解答方法和策略，定能對解析幾何問題應對自如。endprint