淺談小學數學中有余數的除法

葉凱紅

摘 要：有余數的除法問題是小學數學值得研究的一個問題，很多學生對于有余數的含義模糊不清，然而這類問題是競賽中常見類型之一，這些題目源于課本，又高于課本，有一定的思考價值，理解了余數的含義，就能夠很好地解決問題。

關鍵詞：余數；除法；性質

《有余數的除法》是義務教育教科書蘇教版二年級數學下冊第一單元的內容，是以表內除法知識作為基礎來進行教學的，是表內除法知識的拓展和延伸。學生對于算式中最后一個多出來的數字很感興趣，今天我們就一起來研究一下這多出來的數到底是什么。

一、余數的含義

“有余數的除法的初步認識”在教材第一節就直接展示了這樣一個問題：

把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？每人分3支、4支、5支呢？在小組里分一分，說一說。

通過學生動手實踐，大家慢慢懂得，這里的10÷3=3……1可以表示10支鉛筆，每人分3支，可以分給3人，還剩1支。這多出來的1也就是算式中的余數。同時還發現了，有的時候是沒有余數的，比如10支鉛筆每人分5支，可以分給2人，可以用算式10÷5=2表示，這時候就不會出現余數。那什么時候會有余數，什么時候沒有余數呢？

在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生余數，所以余數問題在小學數學中非常重要。這些認知都不是我們教師生搬硬套給學生的，而是在學生的操作中體現的，使學生通過直觀操作認識到“把一些物體平均分時，有時會有剩余”這一事實。

二、余數的性質

余數有如下一些重要性質（a，b，c均為自然數）：

（1）余數一定比除數小。

（2）被除數=除數×商+余數；

（3）如果a，b除以c的余數相同，那么a與b的差能被c整除。

例如，10和7除以3的余數都是1，所以10-7能被3整除：（10-7）÷3=1。

（4）a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和（或這個和除以c的余數）。

例如， 28，11除以5的余數分別是3和1，所以（28+11）÷5的余數等于3+1=4：（28+11）÷5=7……4。

注意：當余數之和大于除數時，所求余數等于余數之和再除以c的余數。

例如， 27，29除以5的余數分別是2和4，所以（27+29）÷5的余數等于（2+4）÷5的余數1，即：（27+29）÷5=11……1。

（5）a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之積（或這個積除以c的余數）。

例如，28，11除以5的余數分別是3和1，所以28乘以11再除以5的余數等于3×1=3。

注意：當余數之積大于除數時，所求余數等于余數之積再除以c的余數。

例如，27，29除以5的余數分別是2和4，所以27乘以29再除以5的余數等于2乘以4再除以5的余數3。

小學階段，我們運用較多的是（1）（2）兩個性質。在今后的學習中，性質（4）（5）可以推廣到多個自然數的情形。

三、運用有余數的除法解決問題

在小學數學中經常運用余數的性質來解決找規律的問題。

例如，公園里的彩燈按照“紅、黃、綠、白”的規律排列，請你算一算，第14只彩燈是什么顏色？第36只彩燈又是什么顏色？

按照“紅、黃、綠、白”每4只彩燈為一組的規律，我們可以發現14只彩燈里面一共可以組成這樣的3組，就有：14÷4=3（組）……2（只），余數2表示第4組中的第2只彩燈，是黃色。第36只彩燈可以組成36÷4=9（組），這里看不到余數了，說明這些彩燈正好組成了9組，第36只彩燈正好是第9組的最后一只，是白色。

有余數的除法在題型上千變萬化，但只要能夠清楚地認知，明白這最后多出來的是什么，以及余數有哪些性質，就能輕松解決。

四、關于余數的困惑

我們在學習能整除的除法時了解到除法有這樣的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。也就是商不變的性質，但是在學習有余數的除法時產生了疑惑。

例如，10÷4=2……2。

如果將被除數和除數同時除以2，就變成：（10÷2）÷（4÷2）=2……1。

如果將被除數和除數同時乘以2，就變成：（10×2）÷（4×2）=2……4。

余數變了！是不是就說明有余數的除法違背了商不變的性質呢？

商不變的性質是放在蘇教版四年級下冊《用計算器探索規律》這一單元中的，這種根據具體內容并要求出余數的情況，實際應用比較少。其實像900÷40，1.7÷0.2如果不用商不變的性質把被除數和除數擴大或縮小相同的倍數，直接進行計算，也就不會有矛盾產生。平時用商不變的性質都是得到最后的商，也就是用小數、分數或者四舍五入法取近似值的形式。

對于這樣的除法算式，我們暫且把它看成一根10米長的彩帶，每4米一份，可以平均分成2份，還多了2米。

10÷4=2……2，這里的余數2是剩余的2米彩帶。

經過變換之后：

（1）10米長的彩帶先分成了2份，再將每一份平均分成2份。

（10÷2）÷（4÷2）=2……1，這里的余數1，是每一份中多出來的1米。（其實對原本10米的彩帶來說總共還是多出來2米）

（2）先將10米長的彩帶擴大到原來的2倍，每8米為一份，可以平均分成這樣的2份，還多4米。

（10×2）÷（4×2）=2……4這么看來，多出來的4米就是每條原10米的彩帶都多出的2米之和。

根據上面的例子來看，我們可以發現，其實有余數的除法并沒有違背商不變的性質。

有余數的除法是一種“會變”的、有趣的除法，多出來的到底是什么？需要我們仔細去思考判斷，在探索中我們能體會到數學帶來的樂趣。

參考文獻：

[1]黃林鋒.關注學生認知起點優化“數形結合”方法：“有余數除法”教學實踐與反思[J].教學月刊（小學版）數學，2011（6）：152-153.

[2]徐永紅.“有余數除法的認識”教學片段與反思[J].教師，2012（6）：104-105.

[3]孫黎明.此“余數非彼余數”[J].中小學數學（小學版）.2010（1/2）：64-65.

編輯 魯翠紅endprint