一類參數(shù)化PID觀測器的分析與設(shè)計(jì)

尹曉麗

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，太原 030006)

0 引言

觀測器是根據(jù)系統(tǒng)的輸出估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)的一類系統(tǒng)。上世紀(jì)60年代初期，為了對無法直接觀測的控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，文獻(xiàn)[1-4]提出狀態(tài)觀測器的概念和構(gòu)造方法，解決了狀態(tài)不能直接量測的問題。觀測器技術(shù)自提出以來，在控制工程的許多方面得到了實(shí)際應(yīng)用，例如濾波[5]、擾動(dòng)估計(jì)[6]、故障診斷[7]等。

為了降低觀測器的超調(diào)，一些學(xué)者試圖利用估計(jì)誤差的積分和導(dǎo)數(shù)信息改善觀測器性能：文獻(xiàn)[8]在觀測器設(shè)計(jì)中采用了誤差的比例積分反饋，改善了觀測器的性能；文獻(xiàn)[9]針對系統(tǒng)存在干擾情況，利用線性矩陣不等式設(shè)計(jì)了比例積分觀測器,在能量有界的外界干擾情況下,設(shè)計(jì)了具有干擾抑制的狀態(tài)觀測器,使得干擾對觀測器性能的影響被限制在一定范圍內(nèi)。以上文獻(xiàn)僅用到了誤差的比例和積分信息，未用到誤差的導(dǎo)數(shù)信息。文獻(xiàn)[10-11]利用廣義線性系統(tǒng)作為工具設(shè)計(jì)了一類PID觀測器，同時(shí)用到了誤差的比例，積分和微分信息，但設(shè)計(jì)過程較為復(fù)雜。針對觀測器的設(shè)計(jì)始終缺少一種像控制中的PID算法那樣能夠充分利用誤差的比例、積分和微分信息獲得比較滿意的性能和設(shè)計(jì)簡單的算法，本文提出的算法試圖彌補(bǔ)這一缺陷。

1 問題描述

本文考慮如下單輸入單輸出離散線性系統(tǒng)：

(1)

其中x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)，u∈R是系統(tǒng)控制輸入，yx∈R是系統(tǒng)量測輸出。

針對系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器如下：

(2)

其中，z∈Rn是觀測器的狀態(tài)向量，uo(k)是待設(shè)計(jì)的觀測器調(diào)節(jié)項(xiàng)。yz∈R是觀測器的輸出。

令e=x-z，ye(k)=yx(k)-yz(k)，由(2)和(1)，得到狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)如下：

(3)

僅僅利用估計(jì)誤差設(shè)計(jì)uo(k)的觀測器面臨收斂快、超調(diào)嚴(yán)重的問題，必須在抑制超調(diào)和加快收斂速度之間尋求一個(gè)折中方案，這是該類觀測器性能無法突破的瓶頸。為了提高收斂速度，同時(shí)避免超調(diào)，我們必須利用更多的量測誤差信息。因此，利用量測估計(jì)誤差及其時(shí)滯信息，設(shè)計(jì)觀測器(2)的調(diào)節(jié)項(xiàng)為：

uo(k)=K1ye(k)+K2ye(k-1)+K3ye(k-2)

(4)

其中，Ki∈Rn×1(i=1,2,3)是待設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣。(4)中ye(k)、ye(k-1)、ye(k-2)的不同線性組合可以近似反映累積誤差、當(dāng)前誤差、誤差變化率以及誤差變化加速度，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)矩陣K1、K2、K3便可以充分利用誤差的比例、積分、微分信號，以達(dá)到在加快收斂速度的同時(shí)在一定程度上避免大的超調(diào)。

下面，對觀測器參數(shù)設(shè)計(jì)進(jìn)行理論分析。現(xiàn)將(4)帶入(3)，得：

(5)

(6)

則

(7)

本文的目的是為系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器(2)，使得誤差系統(tǒng)(3) 漸近穩(wěn)定。該問題等價(jià)于設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣K使得系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定。

2 算法設(shè)計(jì)

本節(jié)將分析具有觀測器反饋項(xiàng)(4)的系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定的條件，并給出(4)的一種簡單參數(shù)設(shè)計(jì)方法。

(8)

(9)

則系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定。

證明：構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

V(k)=ψT(k)Pψ(k)

(10)

其中，P是待確定的正定矩陣。

(11)

則離散系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定的充要條件是：存在矩陣P>0，使得:

(12)

利用矩陣運(yùn)算的性質(zhì)可得：

?

(13)

則

因此，若線性矩陣不等式組(8)-(9)成立，即(13)成立，則存在矩陣P>0，使得(12)成立，即離散線性系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定，證畢。

(14)

上述過程從理論上分析了觀測器設(shè)計(jì)方法的可行性。下面，提出一類簡單的參數(shù)設(shè)計(jì)方法，在實(shí)際使用中可以簡化參數(shù)的設(shè)計(jì)過程，無需進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，直接根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取參數(shù)并適當(dāng)調(diào)整，便可獲得滿意的觀測器估計(jì)效果。

(15)

其中α、β、γ都是標(biāo)量，分別代表估計(jì)誤差比例項(xiàng)、積分項(xiàng)、微分項(xiàng)的權(quán)重。

設(shè)計(jì)估計(jì)誤差反饋增益

(16)

其中ki代表估計(jì)誤差反饋在觀測器不同通道上的增益，一般情況可以全部設(shè)置為1。將K的三個(gè)列向量作為Ki(i=1,2,3)帶入(4)，即得到系統(tǒng)(1)的狀態(tài)觀測器(2)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮以下線性系統(tǒng)：

(17)

其中，x∈R3表示狀態(tài)向量，u∈R表示控制信號，w表示擾動(dòng)信號，y∈R為系統(tǒng)的輸出信號，這里將量測輸出信號設(shè)置為狀態(tài)向量的第2個(gè)分量，下面將利用觀測器對不能直接量測的第三個(gè)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)。

系統(tǒng)(17)的參數(shù)配置如表1所示。

表1 系統(tǒng)(17)的參數(shù)配置 (Matlab代碼表示)

系統(tǒng)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)全部設(shè)置為0，仿真運(yùn)行時(shí)間區(qū)間為：k從0到300。控制器信號取為：

u=0

(18)

擾動(dòng)信號取為：

(19)

基于在算法設(shè)計(jì)部分所提方法，可以設(shè)計(jì)觀測器(2)的待定參數(shù)矩陣，見表2，其中觀測器狀態(tài)變量的初始值均設(shè)置為0。我們將觀察擾動(dòng)發(fā)生后觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)是否快速準(zhǔn)確且超調(diào)很小。

表2 觀測器參數(shù)(Matlab代碼表示)

設(shè)系統(tǒng)(17)的3個(gè)狀態(tài)分量分別為x1、x2、x3，其中x2為系統(tǒng)量測輸出，x1和x3為不可量測的待估計(jì)信號。對信號x3進(jìn)行估計(jì)。當(dāng)擾動(dòng)導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，觀測器能對不可量測的狀態(tài)分量x3進(jìn)行估計(jì)，并很快收斂到x3的真實(shí)軌跡。估計(jì)誤差過程中沒有發(fā)生明顯的超調(diào)。還可以根據(jù)(15)式所示的參數(shù)設(shè)計(jì)方法，適當(dāng)調(diào)整參數(shù)α、β、γ的值以改變觀測器的收斂速度。該實(shí)驗(yàn)充分說明了本文提出的參數(shù)設(shè)計(jì)方法是簡單有效，且完全可行的。

4 結(jié)論

本文針對單輸入單輸出離散線性系統(tǒng)給出了一種新的系統(tǒng)狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)方法，并從理論上證明了該方法的可行性。同時(shí)介紹了一種簡單實(shí)用的參數(shù)設(shè)計(jì)辦法。仿真結(jié)果表明，該觀測器對于系統(tǒng)任意設(shè)定的初始狀態(tài)，能以微小的超調(diào)很快達(dá)到收斂。該觀測器設(shè)計(jì)方法可用于改進(jìn)基于觀測器輸出對被控對象進(jìn)行控制的控制算法，將具有比較廣闊的應(yīng)用場景。

[1] MAJIME H, HINO H.Design of optimal observers for linear time-invariant systems[J]. International Journal of Control, 1974, 19(5): 993-1004.

[2] KIM C G, KUDVA P, GOURISHANKAR V.An optimal observer design for discrete linear systems[J]. International Journal of Control, 1978, 27(6): 879-884.

[3] WILLEMS J L.Design of state observers for linear discrete-time systems[J]. International Journal of Systems Science, 1980, 11(2):139-147.

[4] ASTROM K J.Theory and Application of Self-tuning Regulators[J]. Automatica, 1977, 13(5): 457-476.

[5] CACACE F, GERMANI A, PALUMBO P.A new approach to nonlinear filtering via a mixed state observer and polynomial scheme[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2011, 44(1): 4477-4482.

[6] CHEN M, LIN S, TSENG Mi, et al.Robust State-and-Disturbance Observer Design for Linear Non-minimum-phase Systems[J]. Asian Journal of Control, 2016, 18(3): 1135-1141.

[7] WEI X, VERHAEGEN M.Robust fault detection observer design for linear uncertain systems[J]. International Journal of Control, 2011, 84(1): 197-215.

[8] S?FFKER D, YU TIE-JUN, MüLLER PETER-C.State estimation of dynamical systems with nonlinearities by using proportional-integral observer[J]. International Journal of Systems Science, 1995, 26(9): 1571-1582.

[9] 王占山,張化光. 具有干擾抑制的PI觀測器的設(shè)計(jì)及其應(yīng)用[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版), 2004, 34(2): 277-281.

[10] WU A G, FENG G, DUAN G R. Proportional multiple-integral observer design for discrete-time descriptor linear systems[J]. International Journal of Systems Science, 2012, 43(8): 1492-1503.

[11] WU A G, DUAN G R, FU Y M. Generalized PID observer design for descriptor linear systems.[J]. IEEE transactions on systems Man & Cybernetics Part B Cybernetics A Publication of the IEEE Systems Man & Cybernetics Society, 2007, 37(5): 1390-1395.