芻議高中數學中的立體幾何解題技巧

孫瑜格

摘 要：數學學習中的立體幾何模塊，是一個很重要的模塊，它考驗著學生的空間想象能力與邏輯論證能力的結合，也是高考中必出現的一類題目。立體幾何的解題技巧有好幾種方式，都需要我們在解題前先掌握好立體幾何解題的基本原理，只有掌握了原理，才能夠自由的運用和轉化，面對更復雜的題目都能熟練利用原理和解題技巧來解決。

關鍵詞：立體幾何；解題技巧

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-171-02

想要學好高中數學的立體幾何，關鍵在于要有比較好的空間想象能力，能夠建立起立體模型的概念，能夠將立體轉化為平面，運用基礎的平面原理來解題，立體幾何在高中數學來說是一個非常重要的板塊，高考中必出一道答題，所以在高中數學中學好立體幾何還是很重要的。

一、解題技巧

在立體幾何的解題中，蘊含著一些比較潛層的技巧，這些技巧在平常的課堂中老師教授的較少，但是在實際解題的過程中卻會大量運用。

1、巧設輔助

在立體幾何題目中，有許多同學對于題目的理解僅限于題目中給出的圖形這樣是不夠的，題目會有一些隱藏著的解題步驟，需要我們在思考論證中找出來，其中輔助線就是一種。

構造輔助線是立體結合中比較常用的方法，有一些題目在構造了輔助線后，使題目更清晰，更有條理性。例如下面這題。

如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA，

（Ⅰ）證明：AC//平面PMD；

（Ⅱ）求直線BD與平面PCD所成的角的大小；

（Ⅲ）求平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小。

（Ⅰ）證明：如圖1，取PD的中點E，連EO，EM。

∵EO//PB，EO= 1/2PB，MA//PB，MA=1/2 PB，

∴EO//MA，且EO=MA

∴四邊形MAOE是平行四邊形，

∴ME//AC 。

又∵AC平面PMD，ME平面PMD，

∴AC//平面PMD 。

（Ⅱ）如圖1，PB⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PB。

又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC。

∵CD平面PCD，

∴平面PBC⊥平面PCD。

過B作BF⊥PC于F，則BF⊥平面PDC，連DF，則DF為BD在平面PCD上的射影。

∴∠BDF是直線BD與平面PDC所成的角。

不妨設AB=2，則在Rt△BFD中，BDBF1/2，

∴∠BDF=π/6

∴直線BD與平面PCD所成的角是π/6

在這題中，恰當的選擇了中點，證明了ME與AC的平行，又運用線面平行的原理證明了AC、ME都平行于PMD，從而得出了結論。

2、變化圖形，注意運動變化

立體圖形中，像是求最值、軌道分析、運動變化等問題，都是比較難的立體圖形問題，同學們在解答中需要轉換思路來解答，以便更好更快地獲得答案。像下面這道題。

其實在立體已知如圖等腰△ABC中AB=AC=13、BC=12，DE∥BC.分別交AB和AC于DE.將△ADE沿DE折起使得A到A′，且A′-DE-B為60°二面角.求A′到直線BC的最小距離。

解：取BC的中點O，連AO交DE于O′.

∵AB=AC，∴AO⊥BC，

∴AO′⊥DE，連A′O′，則A′O′⊥DE，

∴DE⊥面A′O′O，∵DE∥BC，

∴BC⊥面A′O′O，

∴BC⊥A′O，故A′O為A′到BC的距離，

且∠A′O′O為二面角A′-DE-B的平面角，

∴∠A′O′O=60°.設AO′=A′O′=x，

∵AB=AC=13，BC=10，

∴AO=12，O′O=12

像這道題中，要先解決的是A′到BC的距離，還要注意這個距離不是固定的是與DE的位置有關系，所以A到DE的距離函數也是A′到BC的距離，像這種題目立體幾何中還是還常見的，求解中一定要注意函數的運用，函數的運用還是化難為簡，切不可用復雜的函數公式來增加題目的難度[1]。

3、設立合適的參數

在幾何圖形中，一般都是通過既定的已知量來推導未知量，但是經常已知量和未知量之間存在著一些未知的關系影響我們解題的判斷，我們在解題中可以設定一些未知數來建立二者之間的關系，特別是在一些復雜的立體幾何問題中，有一些條件你想知卻又未可得時，可以設立一些合適的參數，但是這個參數并不需要解出，只需要通過這個未知參數區解開題目中要求的問題即可，參數并不是重點，在解題中切勿混淆這個概念，以免增加題目的難度[2]。

在立體幾何的求解中，可能會經常遇到類似的情況，例如給出的線段長度是a，不需要具體的數字，也無需求出a是多少，以字母代替更加快能得出答案。

二、其他解題方法

1、立足課本，夯實基礎

其實說道底這些技巧的運用，離不開的就是定理和基礎內容的掌握，基礎內容包括立體幾何中的構成基礎，直線、平面等內容，如果想要掌握立體幾何的解題技巧，就必須要學好這兩大板塊，尤其是一些關鍵的證明公式：三垂線定理、面積射影公式、“立平斜關系式”、最小角定理、各種立體圖形面積、體積的計算公式。學好點與點、線與線、面與面之間的關系。在學定理的時候，如果對于圖形想象不出一個具體的畫面，可以借助一些工具，例如書、直尺，或者在生活中多觀察一些多邊體、不規則的圖形，使徒行具象化也有利于自己對定理的學習。

2、提高空間的想象力

其實在生活中，存在著許多的不規則題，而我們學習立體圖形最終還是要回到生活中，通過書本的知識解決生活中的問題。一些同學對于立體圖形平面空間到立體的想象力不夠，可以通過對在生活中對立體圖形進行觀察、揣摩，并且判斷圖形點線面位置關系，探索各種角、各種垂線作法，一步一步的加強自己空間想象能力，多積累、多觀察、多想象，更好的提高自己的空間想象力，學會變換和畫圖，用定理來推斷論證，也是一個不錯的方法。

三、結束語

高中數學中立體幾何的內容主要還是要掌握解題的八大定理，還要提高自己空間想象能力，才能更好在立體幾何的解題中運用這些技巧，此外，還要有意識的培養自己的邏輯論證能力，在立體幾何的解題中，如果沒有掌握好解題的邏輯順序，解題過程就會比較混亂，從而得不出結果。總之，立體幾何解題技巧很多，但解題時要先掌握原理，并且培養好自己的解題思維，才能解出更復雜的題目。

參考文獻：

[1] 吉繆明. 高中數學中的立體幾何解題技巧[J]. 數理化解題研究，2017，（19）

[2] 江士彥. 芻議高中數學中的立體幾何解題技巧[J]. 讀與寫（教育教學刊），2015，12（11）endprint