數學建模思想在高等數學中的應用探索

周萌 王知力

【摘要】高等數學課程屬于高等院校普遍開設的公共基礎必修課，而數學建模是高等數學理論與應用之間的橋梁，在高等數學的學習過程中融入數學建模的思想不僅能提高學生的學習效率，還能有效增強高等學校學生的核心素質。本文闡述了高等數學課程中引入數學建模的必要性重要性，結合實際情況來探討數學建模在高等數學教學過程中的應用。

【關鍵詞】高等數學 數學建模 數學模型

【中圖分類號】G642；O13-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）35-0089-01

引言

高等數學課程屬于高等院校普遍開設的公共基礎必修課，對于機械類、財經類、管理類專業的學生，學習好高等數學課程，以為后續其它基礎課程打下基礎，但是，高等數學又是一門具有抽象思維特別強的學科，這就需要老師在講授的過程中能夠把抽象的概念具體化，復雜的問題簡單化。數學建模作為一個工具手段剛好解決了這一難題，在教學過程中引入數學建模的思想能夠幫助學生提升發現問題、分析問題和解決問題的能力。

一、數學建模在高等數學教學過程中的重要性

傳統的高等數學教學是以邏輯關系為主體，內容緊湊，環環相扣的。這一過程過多的注重了知識結構體系的完整性和嚴謹性，但是對于學生的積極性和主動性關注度降低，這一現狀使得學生對于高等數學的學習缺乏興趣，理解不夠充分，影響學生的學習熱情。數學建模主要是面向實際問題，弄清楚實際問題蘊含的內在數學關系，進而將實際問題轉化為數學問題，進而建立數學模型，而數學模型的建立是以數學中的定義、定理為基礎的。因此數學建模是一座橋梁，它將抽象問題和實際問題之間建立了有效聯系，這樣既能體現出數學的實際意義，也能讓學生感受到學以致用，效果立竿見影。消除數學枯燥無味，無用的消極思想。因此數學建模是改善高等數學教學的有力工具。

二、數學建模過程與步驟

數學建模就是根據實際問題來建立數學模型，對數學模型來進行求解，然后根據結果去解決實際問題。當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，我們就需要在深入調查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，用數學的符號和語言作表述來建立數學模型。

數學建模的過程一般分為以下幾個步驟：

（1）模型準備

了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數學思想和數學思路貫穿問題的全過程，進而用數學語言來描述問題。整個描述過程要求符合數學理論，符合數學習慣，條理清楚。

（2）數學建模模型假設

根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。

（3）數學建模模型建立

在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量常量之間的數學關系，建立相應的數學結構。

（4）數學建模模型求解

利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（或近似計算）。

（5）數學建模模型分析

對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結果進行數學上的分析。

（6）數學建模模型檢驗

將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。

三、 數學建模與高等數學教學相結合

數學建模的過程應該融入高等數學的授課過程中，比如雙層玻璃窗的功效問題，雨中行走的策略問題等一些和現實聯系比較緊密的案例，這樣的問題既能激發學生的學習熱情和求知欲望，開闊學生視野，另外在一些抽象概念的講授過程中可以加入數學建模的具體案例，使學生能更具象的理解抽象概念。比如在導數的講解過程中，建立位置隨時間的變化，即位移相對于時間的變化率。這就是一個簡單的數學模型，幫助學生深刻理解導數的實際意義是變化率的問題。又如在討論函數的極值、最值部分引入“森林救火問題”；常微分方程中除了解決一些物理和幾何問題還能建立一些生物增長模型和傳染病模型。

模型一：椅子在不平的地面上能放穩嗎？

在零點定理這一節的講課過程中可以把“椅子放平”的問題提出來，引導學生把現實生活中的具體事例轉化成數學問題，進而建立模型解決問題。轉化過程如下：已知，是閉區間上的連續函數，對任意給定的我們有并且，，則證明至少存在一點，使。

模型二：魚塘體積和平均水深的問題。

在重積分這一節的講課過程中可以把“魚塘體積和平均水深”的問題提出來，一方面可以使充分吸引學生的注意力，另一方面可以學生們對這一抽象的概念建立更直觀的印象。具體轉化過程如下：假定魚塘的邊界為橢圓，最大水深為，則得到下面函數，其中，現在要求魚塘的體積V和平均水深h。

模型三：刑事偵察中死亡時間的鑒定模型。

在微分方程這一章節的講授過程中可以引入這個例子，對例子做簡要分析并做如下假設1.假設尸體的溫度按牛頓冷卻定律開始下降。2.尸體初始溫度為37度，兩個小時以后溫度為35度，周圍溫度保持20度不變。3.尸體被發現使溫度為30度，時間是上午十點。假設尸體溫度為，時間為，則可得微分方程，初始條件。

四、結語

數學是一門自然科學，數學概念本身就來源于生活，是為了解決客觀事物之間的數量關系而發展起來的一門科學，因此數學概念必然對應著某實際問題。在講解概念時應該選取身邊較為熟悉的生活問題，一步步抽象出數學概念，在此過程中提高了學生的分析問題和解決實際問題的能力。最后學生不僅能掌握高等數學理論知識，還能真切的體會到高等數學與我們的生活息息相關。既鞏固了理論知識，又達到了理論知識與實際的良性循環。

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