泰勒公式判斷級(jí)數(shù)斂散性的方法

楊小飛 郭建霞

【摘要】本文分析了大學(xué)數(shù)學(xué)課程中級(jí)數(shù)內(nèi)容的重要性，比較了級(jí)數(shù)斂散性的各類(lèi)判別方法。針對(duì)存在的問(wèn)題，分析了泰勒公式在判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性方面的作用，提出了使用泰勒公式判別的方法，并舉例說(shuō)明用泰勒公式判定各類(lèi)級(jí)數(shù)斂散性的方法。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式 級(jí)數(shù) 斂散性

【基金項(xiàng)目】河南科技學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“新鄉(xiāng)高校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析及對(duì)策研究”（2016PUYB24）

【中圖分類(lèi)號(hào)】O173.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）35-0123-02

【Abstract】This article analyses particularly the importance of series in the University mathematics curriculum ，it contrasts various types of the decision methods. Deal with the problems ，it analyses the decision method of Taylor Formula on convergence of series，whats more ，it cites how to use Taylor Formula.

引言

大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，級(jí)數(shù)部分是該課程知識(shí)體系中重要的組成部分。數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的后續(xù)課程，如《復(fù)變函數(shù)論》等都和級(jí)數(shù)有密切的關(guān)系，對(duì)于工科的學(xué)生來(lái)講，傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換主要應(yīng)用在信號(hào)分析領(lǐng)域，包括濾波、數(shù)據(jù)壓縮、電力系統(tǒng)的監(jiān)控和電子產(chǎn)品的制造等領(lǐng)域，因此級(jí)數(shù)和這些內(nèi)容的相應(yīng)的課程緊密相關(guān)。作為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)基礎(chǔ)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分自然尤為重要。判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性是學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)的重要環(huán)節(jié)，關(guān)系到后面各類(lèi)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷如果掌握了一些特定的技巧，則可以幫助我們巧妙地解決這個(gè)問(wèn)題。關(guān)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷，有一些基本方法，如：斂散性的定義、級(jí)數(shù)收斂的必要條件、比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法等，這些方法針對(duì)一些特定形式的級(jí)數(shù)斂散性判斷都非常有效，該部分在文獻(xiàn)[4]中有詳細(xì)講解，這里不再贅述。但是，這里存在的普遍問(wèn)題是，以上方法只是針對(duì)一些特定形式的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)能夠確定其斂散性，對(duì)于一般級(jí)數(shù)的問(wèn)題，需要探索新的方法，比如對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)，只有級(jí)數(shù)滿(mǎn)足Leibniz定理[4]的兩個(gè)條件時(shí)，才能判斷它是收斂的，顯然這個(gè)方法有一定的局限性。

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)課程中一個(gè)功能強(qiáng)大的工具，我們熟知的在近似計(jì)算、誤差估計(jì)、極限計(jì)算等方面都有廣泛的使用[3]。用泰勒公式判定級(jí)數(shù)的斂散性在一些文章已有所提及[5]，但這些論證沒(méi)有深入挖掘它的奇妙之處及具體使用方法。

綜上，用泰勒公式判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，通常是把級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)整理成關(guān)于的函數(shù)形式，利用泰勒公式將其展開(kāi)，經(jīng)整理通常可以得到形如的一項(xiàng)（有時(shí)相差一常系數(shù)或者形如的系數(shù)），結(jié)合比較審斂法和p-級(jí)數(shù)斂散性的結(jié)論就可以判斷原級(jí)數(shù)的斂散性。使用泰勒公式判定級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，首先用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂一般項(xiàng)必趨向于零。其逆否命題是：若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨向于零，則該級(jí)數(shù)必發(fā)散。考慮該必要條件，排除因一般項(xiàng)極限非零的發(fā)散級(jí)數(shù)。

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作者簡(jiǎn)介：

楊小飛（1979-），女，河南新鄉(xiāng)人，講師，主要研究方向?yàn)槠⒎址匠獭?/p>