關于初等數論“同課異構”的開展探討

摘要：舉辦初等數論“同課異構”活動是一件很有重要意義的事情，在初等數論中的一次不定方程充當著舉足輕重的角色。所謂不定方程，是指未知數的個數多于方程的個數且其解受到某種條件的限制的方程或方程組。不定方程作為數論中比較古老的一個分支，同時也是數論中有著重要研究意義的課題之一，不定方程由于它的不定性，所以不定方程的解具有較大的靈活性以及局限性，在解題時必須根據問題的特點，細仔觀察，靈活思考才可以達到迅速求解的效果。本文主要是針對“一次不定方程”展開了“同課異構”的討論。

關鍵詞：同課異構 初等數論 一次不定方程

引言

現今社會，“同課異構”無論是在校園還是生活中都已家喻戶曉，實際上關于“同課異構”的概念很多的老師存在著錯誤的理解，從而對校園的教育質量產生了很大的不利影響，嚴重地引起了“同課異構”的意義。“同課異構”的理念是本著創新、真實以及開放性展開，另外在整個具體的實踐中需要避免進入到與目標分離的誤區。要想保證“同課異構”能夠很好地開展就需要博提前備課，多多準備些有利于學生理解課程的道具。[1]

通過引導學生整理分類入手來研究數學問題，學生在分類的過程中，去偽存真，不斷討論，在思維火花的碰撞中歸納概括，建立概念。然后通過數線模型幫助學生真正理解概念，提升有序思考問題的能力。在和孩子們整節課的探討中，聊著聊著就對了，聊著聊著就會了。這種巧妙的教學設計，諱莫高深、獨辟蹊徑的課堂教學藝術如沐春風，若一簇激浪持久地澎湃了參會的每一個人。在課堂上，不僅是用數學的真諦來撥亮孩子們的心靈，更是用她對孩子們的愛、真情來感染他們，用自己的人格魅力來塑造他們。[2]

一、開展“同課異構”的意義

開展“同課異構”可以給老師一個很好的溝通平臺，在這個平臺上，老師們可以根據其中的一個主題進行討論，每個老師都有其自己的教學方案，在整個過程中，會因為每個老師不同的教學方案從而產生激烈的討論。通過討論，彼此都能學到很多，這樣也有利于教師自身專業能力的加強以及師資水平的提高。[3]

1.提高教育質量

要想提高教學質量，需要經過重重的實踐，最后再進行改革，然而如果改革過程總沒有很好地對改革的意義加深理解，那么就會導致最終效果并不理想。現在我國的大部分改革采取的方式都是從上而下的，也就是說教育行政部門推行命令后再進一步實施到各個學校中去。很多的改革方案中缺失了與教師的溝通性，從而導致了執行力度不夠。[4]

2.益于教師專業提高

隨著社會的飛速進步，教育是一門需要足夠專業性的技術。同時在很多人眼里看來，教師職業和律師甚至醫生一樣都是專業性很強的職業，教師職業需要的知識主要包括了管理學、心理學以及專業學等。有的知識是可以從課堂上學到的，但是有的課程只有在社會的實踐中才能學到一位合格的教師除了需要有著專業技術知識外還需要有豐富的理論知識。[5]

二、二元一次不定方程和解

不定方程的含義指的是方程的數量小于未知數的數量，同時方程的解會被一些條件所限制的。在不定方程中通常會涉及到一個問題那就是不定方程解的個數，包括了3種可能，有唯一解，有多個解，無解。針對這幾個問題就可以知道在現今的教學中依然存在著很多的未解之謎。所以在數學的領域范圍中，不定方程存在著很大的爭議。而且在很多的數學競賽中，不定方程常常被引入到課堂中。

比如mx+ny=d，其中a，b，c都是屬于整數，且ab不等于0，這種方程形式被稱為二元一次不定方程。整個求解的過程又稱為二元一次不定方程。因為求得方程的解為整數，同時又可以是負數抑或是0，因此本文只研究正整數的解。比如6x-5y=18和6x+5y=18，這2個方程公式y的系數只是互為正反數而已。[6]

當d等于0的時候，假如（m，n）=d，將方程的兩邊除以d，那么讓x，y之間的系數是質數，所以可以設置（m，n）=1，從而得出方程的解等于-ny/m，因為（m，n）=1，所以如果y能夠被m除盡，這樣mx+ny=0才有解，因此令y=mt，其中t是整數，此時x=-nt，得出的解分別是x=-nt，y=mt。如果當c不等于0的時候，僅僅要考慮大于0的情況就可以，如果c小于0，那么能夠在方程的兩邊都乘以-1，從而得出mx+ny=c，所以二元一次不定方程僅僅需要考慮的是m，n，d均大于0的情況。

方法一：觀察法，所謂的觀察法主要是通過已積累的經驗，從而進行觀察得出方程的解。比如：3x+y=12，根據觀察就能夠得出一組解就是x=2，y=6。[7]

方法二：輾轉相除法，輾轉相除法主要是根據最大公約數從而推導出特解。

方法三：整數分離法，整數分離法主要是運用系數最大的未知數來表示系數較小的未知數，最終得出方程的解。[8]

方法四：同余法，該方法主要是根據解同余式從而求解二元一次不定方程。比如：4x+5y=23。根據同余法能夠得出5y=23（mod4），y=3（mod4），因此y=3+4。

三、常規設計——以教師甲為例

教師甲在大部分的眼里是嚴謹，因此都會每次上課的到來而精心準備。如果教學的時間較久，那么就會更加地對課程熟悉。本文主要是簡單地闡述下一次不定方程。其中不定方程最大的特征就是方程數量與未知量之間的大小關系。此外方程的解也正好是整數。不定方程后來又被古希臘數學家稱呼為番圖方程，英文名稱是Diophantus。關于研究一次不定方程有整數解問題如下所示：定理 設a，b，c都為整數，且a，b都不為0，那么ax+by=c解為整數的充要條件是d|c。

比如，求二元一次不定方程21x+15y=6的解。解答：d=（21，15）=3|6這說明了該方程是有解的，比如x=1，y=-1，就是其中的一個解。針對一次不定方程在現實學校中沒有進行系統化的教育，所以導致了很多學生可能對一次不定方程理解存在偏差。N元一次不定方程的表達式是q1x1+q2x2+q3x3+...+qnxn=r，其中q1，q2，p3...qn均是正整數，這種方程被稱為是n元一次不定方程。通常情況而言，這種方程有著多個無窮解。然而這種解是正整數解集內。但是有時候，其解也可以是無解貨值是有限解。比如x+y=4，該方程就有無數個解，同時這些解都是在正常的范圍以內的，比如x=1，y=3與x=2，y=2，就是其中的兩種解。其中k是任意的整數，最后吧y=3+4k代入方程，就能夠知道x=（5-20k）/4。

1.非常規設計

假如整數和整數的和以及積都屬于整數，那么現在就能夠討論下整數乘以m加上n乘以整數，那么mx+ny就能夠得出所有的整數，其中x，y屬于整數，假如設置3x+4y=15此時用excel演算下，結果如下：

教師甲的設計是十分合理的，該教師的設計理念中充滿著嚴謹性，該教師體現了教學的特征是導入、定理、例題、習題等。非常規的設計采取的方案是想要得到方程的解但是又不給出方程公式。而是根據mx+ny=c的整數解以及利用計算機從而最終得出特征解。猜想數學遠遠比證明來得更重要，非常規設計

主要是借助于4個猜想從而尋求一條學習的道路。

2. 提高“同課異構”質量的方案

要想提高“同課異構”首先需要做的是提高教師團隊的師資力量，經過集體備課的形式從而將群體的智慧釋放出來，站老師的角度而言，教學同樣能夠提高自身的能力，要想使得“同課異構”得到很好地成效，就需要經過多種模式來推動。

（1）集體備課：集體備課實踐的方式主要涉及到五種，分別是理想的、正式的、理解的、運作的以及經驗的。正式的課程出現形式是文本，運作形式是實施的課程，經驗方式是學生體驗到的實際課程。[9]

（2）時刻反思：反思能夠很好地幫助老師成長，而且還能夠很好地增強老師的教學智慧，反思還能夠給老師的專業進行相應指導。同課異構的目的是增強老師的額師資水平，一方面能夠經過專家點評從而進行課程指導，另外還能夠經過說課環節從而給教師提供反思的機會。[10]

（3）集思廣益：需要采取多種模式從而完成活動的推展，首先就是老帶新模式，教師在工作的過程中除了知識之外還需要有相應的技能，這份工作并不是所有人都能夠做到的，在大學生入校接受職前教育時都是需要入職教育的。

結語

“同課異構不變的是教學內容，萬變的是教學形式。同中求異，異中求同。本次同課異構活動為老師們提供了一個很好的互動交流平臺，有效促進了我校教師的專業提升?！巴n異構”的含義是每個教師都各自有著自己一套教學方案從而進行教學?！巴n異構”在教師自身的事業發展上以及教學質量都能起到很大的益處。初等數論中比較核心的內容是一次不定方程，因此本文就“一次不定方程”展開了論述。傳統意義上的教學只能確保嚴謹的數學，但是無法確保學生能夠得到很好的交流，時刻讓學生有種疏離感，實際上，數學家也只是個普通人，在發現數學的過程中也是歷經波折。

參考文獻

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[3]陳克純，黃敏榆，林強，夏萍琴，李珊.基于教學主體差異的同課異構研究——《乙烯》同課異構的教學對比與反思[J].教育與裝備研究，2018，34（11）：44-47.

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[8]陳晗，葉茂.對高中地理課堂導課的新認識——以“常見的天氣系統”一節的同課異構為例[J].中學地理教學參考，2018（20）：24-25.

[9]朱鳴.貼近目標精選例、習題，訓練眼力聚焦判別式——“一元二次方程根的判別式”同課異構研討[J].中學數學，2018（20）：19-20.

[10]陳功.二元一次不定方程的變量替換求解方法及其計算復雜度分析[J].鹽城工學院學報（自然科學版），2017，30（04）：68-71.

作者簡介

林慕凡（1996.4.12—）男，漢族，2014年9月至2018年6月在加州大學圣塔芭芭拉分校文理學院數學專業四年制全日制本科學習并畢業，學士學位。