顯體系解疑難重變式
——從《平均數(shù)》課例看概念教學(xué)策略

葉柱（特級(jí)教師）

翻閱現(xiàn)行教材，不難發(fā)現(xiàn)，其中編寫著很多數(shù)學(xué)概念。確實(shí)，數(shù)學(xué)概念是課程領(lǐng)域內(nèi)極其重要的基礎(chǔ)知識(shí)，其教學(xué)實(shí)施事關(guān)學(xué)生各種數(shù)學(xué)能力的發(fā)展提升。面對(duì)習(xí)慣于具體感受、不善于抽象提煉的小學(xué)生，如何設(shè)計(jì)并開展概念教學(xué)，是一個(gè)需要持續(xù)關(guān)注、深入探討的現(xiàn)實(shí)問題。在本期“典型課例”中，徐金春、沈曉鈺兩位優(yōu)秀青年教師為我們呈現(xiàn)了基于新課程理念指引的《平均數(shù)》教學(xué)實(shí)錄，讀后頗有啟發(fā)。在此，我想結(jié)合兩個(gè)課例的學(xué)習(xí)體會(huì)，就概念教學(xué)的實(shí)踐策略談些粗淺想法。

一、顯體系：突出“概念”的生長(zhǎng)性

眾所周知，某個(gè)新概念學(xué)習(xí)前，學(xué)生大都已有“前概念”。這個(gè)前概念，可能來(lái)自前位學(xué)習(xí)，也可能源于生活經(jīng)驗(yàn)。備課時(shí)，教師要對(duì)學(xué)生的前位學(xué)習(xí)、生活經(jīng)驗(yàn)予以足夠關(guān)注，力求捕捉其中的前概念因素。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)營(yíng)造空間、重點(diǎn)溝通等組織方式，促進(jìn)前概念向新概念的無(wú)痕“升級(jí)”，從而夯實(shí)概念學(xué)習(xí)的基石。

我們一起探討，學(xué)生已有的“平均數(shù)”前概念可能會(huì)有哪些？首先，對(duì)于平均數(shù)，部分學(xué)生課前有所“觸碰”，但理解比較模糊。其次，對(duì)于“移多補(bǔ)少”的操作模式，很多學(xué)生是有生活經(jīng)驗(yàn)的；而對(duì)于“先合后分”的運(yùn)算策略，則與學(xué)生前期的“用除法解決問題”學(xué)習(xí)經(jīng)歷大有關(guān)聯(lián)。可以說(shuō)，學(xué)生對(duì)于“平均數(shù)”的前概念信息還是比較豐富的。

基于上述分析，我們來(lái)看兩節(jié)課的教學(xué)組織。課堂現(xiàn)場(chǎng)，兩位教師都讓學(xué)生自主經(jīng)歷“移多補(bǔ)少”“先合后分”策略的生成過(guò)程，這是打通前概念與新概念的絕佳體現(xiàn)。除此之外，兩節(jié)課還呈現(xiàn)出了不同的實(shí)踐個(gè)性。徐老師于課始直接揭示課題，請(qǐng)學(xué)生暢談對(duì)平均數(shù)的已有認(rèn)識(shí)，由此摸準(zhǔn)了概念生長(zhǎng)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)；在學(xué)生提出“（14+12+11+15）÷4=13”的解題策略后，徐老師及時(shí)追問學(xué)生“這樣做”的理由。就在此時(shí)，令人倍感意外與驚喜的是，教師并不滿足于“口頭文章”，而是獨(dú)具匠心地利用課件動(dòng)態(tài)再現(xiàn)了“先合并，再等分”的過(guò)程畫面，直觀強(qiáng)化了二年級(jí)“平均分”知識(shí)與四年級(jí)“平均數(shù)”知識(shí)之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)。沈老師在創(chuàng)設(shè)“小紅、小麗、小娟的踢毽比賽”情境時(shí)，圍繞“分別用哪個(gè)數(shù)代表三人的踢毽水平”的核心問題，設(shè)計(jì)了一條“從三個(gè)相同的數(shù)中提取代表數(shù)”“從三個(gè)不同、但比較接近的數(shù)中提取代表數(shù)”“從三個(gè)不同、且差異較大的數(shù)中提取代表數(shù)”的遞進(jìn)路徑，同樣有利于概念內(nèi)涵在每位學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有序生長(zhǎng)。

二、解疑難：張揚(yáng)“概念”的思辨味

在每個(gè)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，常有一些核心元素遠(yuǎn)比字面描述更為抽象，讓學(xué)生較難理解。直面這些核心元素的認(rèn)知疑難，分析學(xué)情需求，改進(jìn)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，調(diào)整引領(lǐng)策略，是概念教學(xué)取得實(shí)效的重要法門。從這個(gè)角度來(lái)看，那些看似面面俱到、但對(duì)疑難核心元素缺乏充分關(guān)注、重點(diǎn)突破的教學(xué)組織，顯然是缺乏達(dá)成度的。

我們?cè)囍治鲆幌?，“平均?shù)”概念的理解難點(diǎn)在哪里？上文已談到，關(guān)于“平均數(shù)該如何得到”，學(xué)生的前概念較為豐富，并有“移多補(bǔ)少”“先合后分”的操作程序可以依靠，屬于技能范疇，因此算不上疑難。而說(shuō)到“平均數(shù)能反映什么”，雖可結(jié)合情境作出解讀，但側(cè)重于觀念思辨，具有較高的抽象程度，很多學(xué)生理解起來(lái)不易“一步到位”，這才是概念建構(gòu)的疑難所在。很高興地看到，兩位教師都非常重視“平均數(shù)能反映什么”這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)的有效突破，極其強(qiáng)調(diào)概念學(xué)習(xí)的思辨味，幫助學(xué)生建立對(duì)“平均數(shù)是一個(gè)虛擬的數(shù)，反映一組數(shù)據(jù)的整體水平”的切實(shí)感悟，進(jìn)而將學(xué)生對(duì)主體的概念理解引向深處。以下，就具體策略予以盤點(diǎn)：

1.情境推動(dòng)，激活思考，解析學(xué)習(xí)疑惑。

徐老師在學(xué)生解決“這個(gè)小組平均每人收集了多少個(gè)水瓶”問題后，及時(shí)設(shè)問：“平均數(shù)13個(gè)是否說(shuō)明，他們每個(gè)人都收集了13個(gè)水瓶？”從而將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)由“過(guò)程解答”引向“結(jié)論反思”，使其體會(huì)到“平均數(shù)并不是實(shí)際水瓶數(shù)。實(shí)際水瓶數(shù)有的大于平均數(shù)、有的小于平均數(shù)。”在此基礎(chǔ)上，教師又適時(shí)拓展教材情境，巧妙延續(xù)了“劇情”，引發(fā)了全體學(xué)生更富深度地?cái)?shù)學(xué)思考：“媽媽知道小明收集了15個(gè)水瓶，她想了解小明在整個(gè)組中的表現(xiàn)。如果你是媽媽，最想聽到兩種回答中的哪一種？”（第一種回答是“總數(shù)52個(gè)”，第二種回答是“平均數(shù)13個(gè)”）正像有位學(xué)生回答的那樣，“我認(rèn)為是第二種回答，這樣就能看出小明的‘戰(zhàn)況’很不錯(cuò)”，這個(gè)環(huán)節(jié)有力凸顯了“平均數(shù)反映整體水平”的抽象內(nèi)涵。

2.問題刺激，促進(jìn)研究，解決認(rèn)知難點(diǎn)。

沈老師在學(xué)生求出“小娟踢毽的平均數(shù)是17個(gè)”后，跟進(jìn)追問：“這里的平均數(shù)17，是小娟第一、二、三次踢毽的個(gè)數(shù)嗎？平均數(shù)17既然不是小娟三次踢毽的具體個(gè)數(shù)，那它究竟表示什么呢？”同樣也幫助學(xué)生“認(rèn)清”了平均數(shù)的本質(zhì)屬性。

三、重變式：提升“概念”的建構(gòu)力

變式，是概念教學(xué)走向深入的重要手段，有利于學(xué)生在明確概念基本內(nèi)涵后，先經(jīng)歷由“不變”到“多變”的跨越，領(lǐng)略概念外延的廣泛性，再體驗(yàn)由“多變”到“不變”的歸并，把握概念內(nèi)涵的統(tǒng)一性。結(jié)合兩節(jié)課的展開狀態(tài)，變式的價(jià)值意義具體表現(xiàn)為三個(gè)方面。

1.依托變式，體會(huì)平均數(shù)的作用。

徐老師教學(xué)例2時(shí)，先呈現(xiàn)了“人數(shù)相同的男女隊(duì)比成績(jī)”的問題情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“一對(duì)一比”“比總數(shù)”“比平均數(shù)”均可，既適度鞏固平均數(shù)的教學(xué)效果，又使學(xué)生感覺到“學(xué)習(xí)平均數(shù)后，數(shù)據(jù)分析手段更加豐富了”。隨后，教師適時(shí)提供變式：“老師在統(tǒng)計(jì)男生隊(duì)的成績(jī)時(shí)，漏了孫奇同學(xué)的成績(jī)（22個(gè)），現(xiàn)在你認(rèn)為哪個(gè)隊(duì)成績(jī)更好？怎么比更合適？”基于這樣的認(rèn)知沖突，學(xué)生很快意識(shí)到“一對(duì)一比”“比總數(shù)”策略的局限性，切實(shí)感受到“比平均數(shù)”策略的適用性，集中聚焦“平均數(shù)反映整體水平”的統(tǒng)計(jì)作用。此后，教師繼續(xù)發(fā)問：“孫奇的22個(gè)是所有人中最好的，為什么男生隊(duì)還是失敗呢？”使學(xué)生明白“一個(gè)數(shù)據(jù)高”不能說(shuō)明問題，“整體水平高”才是本質(zhì)所在。同樣的，沈老師在展示自己前三次的踢毽成績(jī)“18個(gè)、17個(gè)、19個(gè)”后，對(duì)于第四次成績(jī)，預(yù)設(shè)了“14 個(gè)”“18 個(gè)”“22 個(gè)”多個(gè)變式，并在與小紅、小麗及小娟的“PK”中，強(qiáng)調(diào)了“整體水平”的核心要義。

2.借助變式，凸顯平均數(shù)的特點(diǎn)。

平均數(shù)在“反映整體水平”的本質(zhì)屬性外，還有一些外部特點(diǎn)。通過(guò)變式教學(xué)，能讓這些特點(diǎn)“浮出水面”。比如，徐老師在完成“五位男生和四位女生比成績(jī)”教學(xué)后，施展了“連環(huán)問”：“假如孫奇踢的個(gè)數(shù)比27個(gè)多，男生隊(duì)的平均數(shù)會(huì)發(fā)生怎樣的變化？如果孫奇踢的成績(jī)很差，比如只有7個(gè)，男生隊(duì)的平均數(shù)又會(huì)發(fā)生怎樣的變化？”在充分思辨的基礎(chǔ)上，教師對(duì)平均數(shù)外部特點(diǎn)的揭示“水到渠成”：看來(lái)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)生變化時(shí)，整組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就變了。

3.立足變式，優(yōu)化平均數(shù)的應(yīng)用。

筆者認(rèn)為，“平均數(shù)”只有跳出書本限制、回歸生活現(xiàn)場(chǎng)，才能真正凸顯其統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。鑒于此，兩位教師都精心設(shè)計(jì)了一定數(shù)量的變式訓(xùn)練。徐老師策劃的“小東到哪里去游泳比較危險(xiǎn)”話題討論、沈老師提出的“糕點(diǎn)師傅明天做多少個(gè)草莓蛋糕才合適”“你能運(yùn)用今天所學(xué)的知識(shí)來(lái)勸勸老奶奶嗎？”問題辨析，都將平均數(shù)知識(shí)“埋伏”進(jìn)現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中，使得學(xué)生需要應(yīng)用所學(xué)、靈動(dòng)思考，進(jìn)一步豐富了其對(duì)平均數(shù)本質(zhì)功能的深度認(rèn)同。

綜上所述，透視兩個(gè)《平均數(shù)》課例，筆者認(rèn)為，概念教學(xué)要“顯體系”“解疑難”“重變式”，來(lái)突出生長(zhǎng)性、張揚(yáng)思辨味、提升建構(gòu)力。另外，對(duì)于教材編寫的例題資源，徐老師的立場(chǎng)是“用透及拓展”，沈老師的做法是“替換與補(bǔ)充”。個(gè)人以為，只要有利于全體學(xué)生對(duì)于概念的深層建構(gòu)，都是可行的。正所謂，“條條大路通羅馬”。