在問題解決中感悟模型
——“工程問題”教學(xué)案例與反思

牛獻禮（特級教師）

數(shù)學(xué)模型是“借用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實世界的故事”（史寧中），是現(xiàn)實世界的簡化而又本質(zhì)的描述。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（簡稱“數(shù)學(xué)建模”）即指“從數(shù)學(xué)的角度對所需研究的問題作一個模擬，舍去無關(guān)因素，保留其數(shù)學(xué)關(guān)系，以形成某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”。

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》明確把數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的核心素養(yǎng)。《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》指出：“數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。”小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模不同于高中階段，模型的內(nèi)容與建模過程比高中及一般意義上的要求低很多，但建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中的滲透，可以說無處不在。那么，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透呢？下面以人教版六年級上冊中的“工程問題”為例，談?wù)劰P者在教學(xué)中的做法。

教學(xué)片斷一：

出示例1：修一段420米長的路，甲隊單獨修需要10天完成，乙隊單獨修需要15天完成。如果兩隊合修，幾天能夠完成？

教師在引導(dǎo)學(xué)生讀懂題意的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨立思考、嘗試解答，并鼓勵學(xué)生寫出數(shù)量關(guān)系式。

生：420÷（420÷10+420÷15）=6（天）。

生：工作總量÷工作效率=工作時間。

師：如果把這道題的條件改變一下，變成“210米”，猜猜看，多少天能夠修完呢？（板書：猜想）

生：3天能夠修完。

師：為什么呢？

生：因為工作總量少了一半，其他條件沒有變，所以工作時間也會少一半。

師：聽起來很有道理！這個猜想到底對不對呢？還需要——

生：驗證。（板書：驗證）

出示例2：修一段210米長的路，甲隊單獨修需要10天完成，乙隊單獨修需要15天完成。如果兩隊合修，幾天能夠完成？

（學(xué)生獨立列式計算，驗證猜想）

生：（很驚訝）怎么還是6天？

師：說說你們的列式。

生：210÷（210÷10+210÷15）=6（天）。

師：為什么工作總量縮小了一半，工作時間卻沒有變化呢？什么原因呢？討論一下。

（學(xué)生小組討論后全班交流）

生1：盡管工作總量縮小了一半，但是工作效率也變慢了，比如甲隊工作效率210÷10=21（米），比上題中的工作效率420÷10=42（米）也慢了一半，所以工作時間還是6天。

生2：我發(fā)現(xiàn)不管是修420米還是210米，甲隊單獨修都是10天完成，乙隊單獨修都是15天完成，這個時間不變，合修的時間就不會變。

（生2的意見贏得了絕大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)同）

生：是的。

師：這又是個聽起來很有道理的猜想，我們再來驗證一下。（板書：再猜想——再驗證）

出示例3：修一段150米長的路，甲隊單獨修需要10天完成，乙隊單獨修需要15天完成。如果兩隊合修，幾天能夠修完？

（學(xué)生獨立列式，計算驗證）

生：（興奮地）150÷（150÷10+150÷15）=6（天）。

師：果然如此！合作完成的時間和道路總長度真的沒有關(guān)系！那么，既然這樣，我們干脆把道路總長這個條件省略掉，行不行？

⑨http：//sh.sina.com.cn/news/s/2015-10-27/detail-ifxkaiqx4289680.shtml。近期低價游事件大盤點。

生：行啊。

出示例4：修一段路，甲隊單獨修需要10天完成，乙隊單獨修需要15天完成。如果兩隊合修，幾天能夠修完？

（學(xué)生先獨立解答，再小組交流，然后全班反饋）

少數(shù)學(xué)生感到有困難，無從下手；部分學(xué)生想到了舉例子的方法，假設(shè)路長是某個具體的數(shù)，再列式解答；但是，也有更多的學(xué)生想到了下面的方法。

師：剛才我們把這道修路問題不斷變換條件，得出了黑板上的這四種算法，比較一下，哪種方法更加簡便？

生：第四種方法。

師：想一想，前三道題目能用第四種方法做嗎？為什么？

生：能用，因為不管工作總量是420米、210米，還是150米，都可以看作“1”。

師：是的，這種問題在數(shù)學(xué)上叫做“工程問題”（板書課題：工程問題），它的特點是把工作總量看作單位“1”；誰幾天完成，誰的工作效率就是幾分之一；用工作總量單位“1”÷工作效率之和，就可以求出兩隊合修的工作時間。

【思考：數(shù)學(xué)建模是一個復(fù)雜并具有挑戰(zhàn)性的過程，建模的過程，實際上就是數(shù)學(xué)化的過程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有模型意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。由于小學(xué)數(shù)學(xué)沒有復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其基本內(nèi)容是以四則運算為基礎(chǔ)的問題解決，從成人角度看數(shù)學(xué)模型過于簡單，但學(xué)生自主思考、建構(gòu)與解決這些問題的過程并不簡單，許多問題的解決過程都是學(xué)生“再創(chuàng)造”的過程。

學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維水平的提升需要依賴教師設(shè)計的好活動，尤其是在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模思想的滲透既要經(jīng)歷過程，又要兼顧不同層次和水平的學(xué)生的需求，這就更加需要教師的精心設(shè)計。上述教學(xué)從相應(yīng)的整數(shù)問題引入，引出了豐富的學(xué)習(xí)材料。為便于比較，促進抽象概括，對這些學(xué)習(xí)材料采用精細(xì)的呈現(xiàn)順序，并讓學(xué)生經(jīng)歷了“猜想-驗證-再猜想-再驗證”的思維過程。在組織比較這些材料時，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)量關(guān)系上求同，在工作總量、工作效率的表示形式上辨異，使感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，既加深了學(xué)生對工程問題基本數(shù)量關(guān)系的理解，又突出了工程問題的結(jié)構(gòu)特點與解題規(guī)律。在建模過程中，教師注重暴露學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、爭論、舉例、追問中逐步澄清，慢慢從具體走向抽象。縱觀整個學(xué)習(xí)過程，每一次探究、每一次比較、每一次抽象，學(xué)生都在體會題目的結(jié)構(gòu)特點，都在感悟數(shù)學(xué)思想，抽象、模型等思想在建模過程中得到有效的滲透。】

教學(xué)片斷二：

出示：一批貨物，大車單獨運，10次可以運完，小車單獨運，15次可以運完。如果大車和小車合運，幾次可以運完？

生：跟剛才修路問題一樣，可以把這批貨物的總量看作“1”，1÷（1÷10+1÷15）=6（次）。

出示：甲、乙兩地相距300千米，快車3小時可以行完全程，慢車6小時可以行完全程。快車和慢車同時從甲、乙兩地相對開出，經(jīng)過幾小時可以相遇？

（學(xué)生嘗試解答，然后全班交流）

生 1：300÷（300÷3+300÷6）=2（小時）。

師：看來大家是贊同生2的做法的。這種解決問題的方法跟“工程問題”的解法有什么相同之處呢？

生：快車和慢車從兩地相對開出直到相遇，相當(dāng)于兩輛車合作走完這段路，這段路的全長就是工作總量，它們的速度就相當(dāng)于工作效率。

師：真好！這里的修路問題、運貨問題、相遇問題，都可以歸結(jié)為同一類問題，都可以按照工程問題的方法來解決。

……

【思考：人們認(rèn)識客觀世界，把握客觀事物規(guī)律，要通過探究事物與事物之間的異同，尋找事物之間錯綜復(fù)雜的內(nèi)在聯(lián)系來實現(xiàn)，這就需要對事物進行比較。比較，是把一些事物的個別屬性加以分析綜合，而后確定它們之間異同的邏輯思維過程。通過比較，找出不同事物共同的本質(zhì)屬性，促進歸納概括，建立數(shù)學(xué)模型。設(shè)計上述兩道題的目的就是想讓學(xué)生能主動地運用數(shù)學(xué)模型去比較、分析、解決一些同類的現(xiàn)實問題，感悟模型思想。通過對“修路問題、運貨問題、相遇問題”進行分析、比較，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：拋開具體情境，這些問題的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)是相同的，這樣才真正有了“模型”的影子。學(xué)生在問題解決的過程中不僅加深了對建立的數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識，建模的過程還能夠幫助學(xué)生超越具體情境，向抽象思維水平邁進。】