淺談初中數(shù)學(xué)模型思想教學(xué)研究

王丹陽 毋曉迪

(1.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007； 2.廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西 南寧 530000)

一、數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型也就是根據(jù)實(shí)際問題和研究對象的特點(diǎn)，為了描述和研究客觀現(xiàn)象的運(yùn)動變化規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象、概括等方法而形成的，用以反映其內(nèi)部因素之間的空間形式與數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式，包括數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則、具體算法和數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)學(xué)科是從生活中發(fā)展而來的，生活中的很多問題都能用數(shù)學(xué)知識來解決，其中數(shù)學(xué)模型就是從生活中抽象而來的，是把生活問題數(shù)學(xué)化，從數(shù)學(xué)的角度來解決問題。從數(shù)學(xué)模型的定義中可以看出，數(shù)學(xué)公式、概念、定理都屬于數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)模型，可以使抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得具體形象，有利于問題的解決，因此，數(shù)學(xué)模型可以看做是溝通現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)學(xué)科的一座橋梁。

二、數(shù)學(xué)模型思想在初中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)基本思想之一，數(shù)學(xué)模型思想的本質(zhì)就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題。在初中教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型思想已經(jīng)占據(jù)著重要的部分，我們不難發(fā)現(xiàn)，一元一次方程、一元二次方程、概率初步、二元一次方程組等等都涉及到了數(shù)學(xué)模型思想，《標(biāo)準(zhǔn)》中也10次提到了數(shù)學(xué)建模、模型思想，由此可知，模型思想在初中教育階段的重要性，《標(biāo)準(zhǔn)》也從課堂教學(xué)、設(shè)計(jì)試題、課程安排等方面對模型思想的學(xué)習(xí)提出了不同的要求，主要目的是讓學(xué)生循序漸進(jìn)地從體會、感知、經(jīng)歷到建立，最終能夠達(dá)到“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的要求。

三、建立數(shù)學(xué)模型的步驟

(一)模型準(zhǔn)備

要建立有關(guān)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，首先要對實(shí)際問題有深入的認(rèn)識，收集影響結(jié)果的有關(guān)數(shù)據(jù)，找到相關(guān)變量，收集相關(guān)變量影響結(jié)果的數(shù)據(jù)。

(二)模型假設(shè)

要建立有關(guān)實(shí)際問題的模型，不僅要收集數(shù)據(jù)，收集數(shù)據(jù)之后，還要對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，對實(shí)際問題滿足的實(shí)際的模型進(jìn)行假設(shè)，假設(shè)數(shù)學(xué)模型的過程，就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，這個(gè)過程需要操作者具有一定的知識經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)槟Ｐ图僭O(shè)出錯(cuò)，可能會事倍功半。

(三)模型構(gòu)成

模型構(gòu)成是指進(jìn)行模型假設(shè)之后，通過對因果變量的分析，找出的因果變量之間的關(guān)系，在實(shí)際問題中還需要考慮自變量的取值范圍，以及不同范圍的自變量，對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是否相同。

(四)模型求解

建立數(shù)學(xué)模型之后還需要對所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，給出數(shù)學(xué)模型可能出現(xiàn)的結(jié)果。

(五)模型分析

數(shù)學(xué)模型的建立并不是一蹴而就的，需要對所建立的數(shù)學(xué)發(fā)模型進(jìn)行分析，看所建立的數(shù)學(xué)模型是否符合實(shí)際情況，是否存在誤差，誤差嚴(yán)重時(shí)還需要對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修改。

(六)模型檢驗(yàn)

模型檢驗(yàn)是將對所建立的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于實(shí)際，看實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否符合所建立的模型，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膶?shí)用性和合理性。

四、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型思想的原則

數(shù)學(xué)模型思想并沒有直接以文字的形式表示出來，它往往是隱藏在數(shù)學(xué)知識中的，也就是說學(xué)生要想掌握數(shù)學(xué)模型思想，就必須先掌握基本的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能，在掌握數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能的過程中，循序漸進(jìn)地提高自己的數(shù)學(xué)建模能力。針對初中生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，在對初中生進(jìn)行數(shù)學(xué)模型教學(xué)時(shí)要遵循以下幾個(gè)原則：

(一)數(shù)學(xué)化原則

數(shù)學(xué)模型思想是通過把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題來解決要研究的問題的，其本質(zhì)就是把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后通過數(shù)學(xué)的思想方法來分析和解決問題，我們可以看出，在這個(gè)過程中，最關(guān)鍵的一步就是轉(zhuǎn)化，也就是數(shù)學(xué)化的過程，因此，要想使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型思想，就必須培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化的能力，要培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去分析解決問題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

(二)過程性原則

數(shù)學(xué)模型教學(xué)并不是簡單地告訴學(xué)生什么是數(shù)學(xué)模型，更重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，還可以讓學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程中，在參與的過程中促進(jìn)學(xué)生不斷地思考，加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解。例如，在《多邊形的內(nèi)角和》這節(jié)課中，教師教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該是引導(dǎo)學(xué)生探索多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程，而不是簡單地告訴學(xué)生多邊形內(nèi)角和的公式，這樣一來學(xué)生對多邊形內(nèi)角和的公式會有一個(gè)更加深刻的印象，與此同時(shí)，學(xué)生還能潛移默化地掌握其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

(三)“最近發(fā)展區(qū)”原則

教的目的是為了學(xué)，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的引導(dǎo)者，教師在教學(xué)活動中需要充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況和學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，結(jié)合學(xué)生所學(xué)知識和生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問題情境，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力。例如，在進(jìn)行一元二次方程的教學(xué)中，教師可以充分利用學(xué)生所學(xué)的一元一次方程，通過概念的對比，找到一元一次方程與一元二次方程的之間的聯(lián)系，讓學(xué)生知道這里的“元”指的是未知數(shù)，一元就是有一個(gè)未知數(shù)，“次”指的是未知數(shù)的次數(shù)，一元一次方程就是有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次，一元二次方程就是有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為二，通過兩個(gè)概念的對比，學(xué)生能夠更加熟練地掌握一元一次方程和一元二次方程的概念，也為以后要學(xué)的二元一次方程打下了基礎(chǔ)。

(四)針對性原則

對于初中生來說整個(gè)初中階段，是他們認(rèn)知發(fā)展的重要階段，不同發(fā)展階段的學(xué)生要有根據(jù)他們認(rèn)知發(fā)展的水平采用不同的教學(xué)策略，循序漸漸地進(jìn)行，切不可無視學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的差異性，對不同年級的學(xué)生采用相同的方法。初一的學(xué)生，剛從小學(xué)過渡到初中階段，這個(gè)年級的學(xué)生，具體形象思維仍占據(jù)重要地位，教師在教學(xué)過程中，可以借助直觀教具，或者創(chuàng)設(shè)與實(shí)際生活密切相關(guān)的實(shí)際情景，讓學(xué)生更加容易理解所學(xué)的知識。初二和初三的學(xué)生，抽象思維已經(jīng)有所發(fā)展，在教學(xué)中可以充分利用學(xué)生所學(xué)的知識經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力。

五、數(shù)學(xué)模型思想的策略

(一)教學(xué)準(zhǔn)備策略

1.深入挖掘教材

課堂教學(xué)中用到的教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，要實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，提高教學(xué)質(zhì)量，教師吃需透教材，深入挖掘其隱含的數(shù)學(xué)思想，只有讓學(xué)生了解并掌握其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，此外，教師還應(yīng)該研究教材編寫的邏輯順序以及編寫的意圖，敢于挑戰(zhàn)權(quán)威。這樣一來不僅可以提高教師的研究意識和能力，更重要的是，分析教材之后，教師對課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)目標(biāo)會有更加深刻的認(rèn)識，這樣在教學(xué)中教師就會有更加明確地教學(xué)方向。

2.設(shè)計(jì)高效的教學(xué)活動

現(xiàn)在我國大部分學(xué)校仍然是以教師的講和學(xué)生的聽為主導(dǎo)的教學(xué)模式，其模式雖然提高了教學(xué)效率，但不利于學(xué)生創(chuàng)造性的發(fā)展。每個(gè)數(shù)學(xué)知識都是經(jīng)過探索驗(yàn)證得到的，在教學(xué)中教師要根據(jù)班級學(xué)生的具體情況，設(shè)計(jì)一些高效的教學(xué)活動，讓學(xué)生參與到教學(xué)活動中來，經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，學(xué)生自己動手，自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，學(xué)生親自參與到這些教學(xué)活動中來，他們對要掌握的數(shù)學(xué)知識會有更加深切的體會，學(xué)生的模型思想也能得到發(fā)展。要想設(shè)計(jì)高效的教學(xué)活動就需要教師聯(lián)系生活實(shí)際，將教學(xué)內(nèi)容與生活實(shí)際聯(lián)系起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)，教師還可以向其他教師進(jìn)行討論，取長補(bǔ)短，找到適合自己學(xué)生的教學(xué)活動。

(二)實(shí)施策略

1.創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)興趣

“興趣是最好的老師”，學(xué)生只有對所學(xué)的知識感興趣，才會全身心地投入到學(xué)習(xí)活動中去，因此，在教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生積極參與到教學(xué)活動中來，但是怎樣創(chuàng)設(shè)問題情景才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對教師來說不是一件容易的事情，一方面，需要教師深入了解學(xué)生，多和學(xué)生交流溝通，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們的興趣愛好，另一方面，教師要多了解一些教育理論，理論聯(lián)系實(shí)際，根據(jù)實(shí)際情況，采用合適的教學(xué)方法。

2.讓學(xué)生經(jīng)歷模型建構(gòu)的全過程

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)說過“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造”。學(xué)生從課堂上學(xué)到的知識很容易忘記，但是那些自己親身經(jīng)歷后得到的知識經(jīng)驗(yàn)往往記憶深刻，所以在進(jìn)行數(shù)學(xué)模型教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生經(jīng)歷模型建構(gòu)的全過程，經(jīng)歷模型的假設(shè)、檢驗(yàn)、確定的過程，只有這樣，學(xué)生才能深刻理解所學(xué)的知識，知道知識的由來以及應(yīng)用，還可以培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想和數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，學(xué)生熟練掌握了數(shù)學(xué)思想對他們以后的學(xué)習(xí)會有很大的幫助。

3.模型思想的深化

教師要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生學(xué)會將所學(xué)的知識應(yīng)用于實(shí)際生活之中，在應(yīng)用的過程中，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，這樣，不僅可以讓學(xué)生對所學(xué)的知識有更加深刻的理解，還可以培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

4.建立知識間的聯(lián)系，形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)

在初中，學(xué)生已經(jīng)接觸過的數(shù)學(xué)模型有：方程模型、函數(shù)模型、概率模型、不等式模型、幾何模型等等，但是，學(xué)生只是對這些模型有一些簡單的認(rèn)識，對于每個(gè)模型的具體特點(diǎn)并沒有過多地了解，顯然也無法形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，這些就需要教師在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生去思考總結(jié)，總結(jié)知識間的聯(lián)系，歸納不同模型的特點(diǎn)以及學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)習(xí)的效率。

六、數(shù)學(xué)模型思想的要求

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出，在進(jìn)行有關(guān)數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)時(shí)，要注重學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自己從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問題，能夠自己建立模型，解決問題。數(shù)學(xué)模型的建立是學(xué)生將所學(xué)的知識應(yīng)用實(shí)際，將自身的經(jīng)驗(yàn)與外部世界建立聯(lián)系的過程，模型思想能夠增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會，與時(shí)俱進(jìn)。在數(shù)學(xué)課堂上，教師要增強(qiáng)數(shù)學(xué)符號、空間觀念，模型意識、數(shù)據(jù)分析觀念、模型意識的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想。

參考文獻(xiàn)：

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