以問題為導向，增強學生總結概括能力
——例談求解幾種三角函數最值題型的策略

崔允亮 毋曉迪

(1.河南大學數學與統計學院，河南 開封 475000； 2.廣西民族大學理學院，廣西 南寧 530000)

一、前言

在高考中，在函數的最值方面歷來是命題者所青睞的，特別的以三角函數為橋梁的最值問題儼然成為高考中的熱點導向。三角函數作為基本初等函數的范疇，它的最值問題恰是其性質和恒等變換的綜合應用，也是描述周期現象的重要數學模型。而三角函數的最值問題往往會和其它知識進行交匯來命題，例如不等式、方程以及與幾何有關的計算等等。如果學生能掌握并歸納出求三角函數的最值題型后，常見的三角函數最值問題都可以迎刃而解。

二、常見的幾種三角函數最值題型以及策略

(一) y=asin x+b(或 y=acos x+b)型的函數

此類函數利用sinx≤1(或cosx≤1)即可求解，顯然ymax=a+b,ymin=-a+b

例.在直角三角形中，兩銳角為A和B，求sinAsinB的最大值.

(二)y=a sin θ+b cos θ型的函數

(三)y=a sin2x+b sin x cos x+cos2x型的函數

此類函數可先降次，再整理轉化y=Asin(ωx+φ)+B形式解決.

例.求y= sin2x+2 sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出此時的x的集合.

大部分含有上述三角函數的分式型都可以通過化簡，然后利用三角函數的有界性來求解來處理等。

(五)含有“a sin x cos x,sin x±cos x”的三角函數的最值問題

例.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

三、總結

綜上可得，相信通過這一歸納總結整理后，使學生和老師明白解決這類問題不僅涉及到三角函數的定義域、值域、圖像、三角函數的恒等變換以及輔助角公式等，還會涉及到函數、不等式、方程以及幾何計算等相關知識，是具有一定的綜合性和靈活性。因此我們掌握這幾種類型后，在解題中通過觀察表達式的特點，選準解題策略，就會收到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1]代昆鵬.三角函數最值問題的討論[J].數學教學與研究，2010(35).

[2]彭長軍.三角函數最值問題的常見類型及其解法[J].高中數理化，2001(3).