分數階永磁同步電機混沌系統的自適應模糊滑模同步控制

任志偉

（鶴壁汽車工程職業學院，河南 鶴壁 458000）

現如今，混沌現象不僅是物理界研究的熱點，同時也受到了工程技術界的廣泛關注，越來越多的技術研究傾向于混沌現象。由于近年來對混沌系統的控制與同步成為控制理論與控制工程領域的重要研究內容，在對控制和同步混沌系統更深刻理解的基礎上，許多學者針對各類混沌系統進行了深入研究。然而以上研究大多是基于整數階混沌系統，近年來在整數階混沌系統的基礎上又出現了分數階微積分在數值分析混沌系統。分數階微積分是研究分數階次的微積分算子特性以及分數階微分方程的理論，已經有逾300年的歷史。隨著對分數階微積分研究的不斷深入，研究者普遍認為分數階微積分作為整數階微積分的自然推廣，極大地擴展了人們所了解的整數階微積分的描述能力。所以，現今分數階微積分在數值分析以及物理和工程等不同領域中的應用，越來越多地引起了廣泛的關注。分數階微積分理論在不同領域應用研究的顯著增加，同樣也引起了控制領域專家和學者們的重視，有關分數階混沌系統的控制與同步問題研究也日益增多。

近年來，由于智能控制的不斷完善和發展，特別是模糊控制的不斷發展，分數階混沌系統的模糊控制也得到了一定的發展，很多學者針對分數階混沌系統，利用分數階T-S模糊模型，研究了其控制問題；有些文獻針對分數階區間不確定系統，利用分數階T-S模型建模，設計了能夠鎮定系統的狀態反饋控制器，并應用到一類帶有不確定參數的分數階混沌系統中。另一方面，滑模變結構控制已經形成了一個相對獨立的研究分支，適用于線性與非線性系統、連續與離散系統、確定性與不確定性系統等，并且在實際工程中逐漸得到推廣應用。在混沌系統的同步研究中，滑模控制也得到了廣泛的應用，有些文獻針對一類帶有外部擾動的分數階混沌系統，研究了自適應滑模同步控制問題。更進一步，采用主動滑模控制器，有些文獻通過探討分數階主從結構混沌系統的同步控制問題。針對帶有時滯的分數階混沌系統，基于自適應模糊滑模控制，但是對于有關分數階混沌系統的T-S模糊滑模控制，仍有許多亟待解決的問題。

文章在深入分析研究分數階永磁同步電機混沌系統結構特點的基礎上，采用T-S模糊模型對系統進行重構。基于狀態反饋和模糊控制思想，研究了分數階永磁同步電機混沌系統的模糊控制算法。并大膽引入了滑模控制策略，成功設計了能夠使分數階永磁同步電機混沌系統漸近同步的模糊滑模自適應控制器，特別是文章所討論的系統充分兼顧了實際系統中含有不確定和外部擾動的情況。文章最后利用Matlab-Simulink軟件進行了仿真實驗，取得了令人滿意的結果，從而證實了文章提出的分數階永磁同步電機混沌系統T-S模糊滑模自適應控制算法的有效性。

1 系統描述

在此章節，考慮如下含均勻氣隙的永磁同步電機系統的數學模型

其中，ω、id和iq是狀態變量，分別表示角速度，d軸電流和q軸電流。σ和γ是系統的操作參數且為正常數和q分別表示負載轉矩，d軸電壓和q軸電壓。系統（1）中，令外部輸入為零，即。其中，當σ和γ的取值在特定范圍內時，系統（2）能產生混沌特性，例如σ=5.45，γ=20。這種混沌行為會破壞永磁同步電機系統的穩定性，為了消除或控制混沌現象，可將ud作為一個可調變量，在現實應用中也是可以實現的。接下來，令

可得到

由于系統內部阻尼所引起的動態效果可以通過分數階微積分來進行描述，根據系統（3），將分數階永磁同步電機混沌系統作為驅動系統，其數學模型描述如下：

其中，當 σ=5.45，γ=20，α=0.95 時，其混沌吸引子如圖 1所示。

圖1 加入控制前系統（4）相軌跡

2 系統重構

考慮如下分數階系統

由T-S模型描述的模糊規則i：如果z1（t）是Fi1且z2（t）是Fi2且…且zn（t）是Fin，則對于系統（4）采用單點模糊化，乘積推理，中心加權平均解模糊，可得到模糊系統的整個狀態方程為：

式中：x（t）∈Rn為狀態變量；Fij（zj（t））是zj（t）關于模糊集Fij的隸屬度函數；Ai∈Rn×n；N表示模糊推理規則數

在分數階永磁同步電機混沌系統中具有兩個非線性項x1x3和x1x2為構造成式（6）的模糊系統，需要將兩個非線性項表示成一些線性函數的權重線性和。

式中，g1（x（t））=M1，g2（x（t））=M2，M1和M2為模糊集。因此，針對系統（4），為了得到形如式（6）的模糊系統，可以建立如下模糊規則：

分數階永磁同步電機混沌系統處于混沌時，假設x1的取值范圍是［-20，20］，因此取 M1=-20，M2=20。通過 T-S模糊模型重構后的分數階永磁同步電機混沌系統其吸引子形狀與重構之前的吸引子相同。考慮到實際應用中，系統的不確定性和外部擾動都是不可避免的，因此通過重構系統，帶有模型不確定和外部擾動的全局模糊系統數學模型可以描述如下：

同理，依照上述模糊規則，將系統（5）按照相同的方式進行系統重構，則重構后的響應系統如下：

其中，Δf（x，t）和Δg（y，t）分別表示系統（4）和（5）的不確定性，dx（t）和 dy（t）分別表示系統（4）和（5）的外部擾動，且滿足

假設1：系統（4）和（5）中的不確定項Δf（x，t），Δg（x，t）是有界的，且滿足其中（i=1，2，3）是正實數。

假設 2：系統（4）和（5）中的外部擾動項 dx（t），dy（t）是有界的，且滿足，其中ξi（i=1，2，3）是正實數。

定義1：針對分數階驅動系統（4）和分數階響應系統（5），如果存在一個控制器ui（t）（i=1，2，3）使得下列等式成立：

則分數級驅動系統（4）和分數階系統（5）實現漸近同步。

因此，我們目標就是設計一個能夠保證誤差系統ei（t）=yi（t）-xi（t）漸近穩定的控制器。

3 模糊滑模自適應控制器設計

在此章節，首先選取如下滑模平面如下：

根據滑模控制方法可知，當系統狀態到達滑模平面時，則滿足

考慮到現實應用中，系統的不確定和外部擾動是是未知或者不可測得的，因此根據式s·（t）=0，等效控制率ueq可以設計如下：

這里，為了保證到達速率，一種新的滑模到達率ur設計如下：

其中為自適應參數且滿足 k1，k2，k3，α，β＞0 且自適應率

結合式（11）和（12），可將模糊控制器設計如下：

定理1 若存在一個如式（16）的控制器，則系統（4）和（5）可以實現漸近同步。

4 數值仿真

為了驗證上述所提控制方法及控制器的有效性，現選取系統的參數如下：

利用上述參數，通過對系統進行數值仿真，可得到如下仿真結果。圖2為目標系統（4）和（5）受控后的狀態響應x1（t），y1（t），圖 3 為滑模平面 s（t）的狀態響應。

圖2 受控后系統（4）和（5）的狀態響應x1（t），y1（t）

圖3 滑模平面si（t）（i=1，2，3）

5 結語

文章研究了帶有不確定以及外部擾動的分數階永磁同步電機混沌系統的同步問題，基于T-S模糊模型，首先對分數階永磁同步電機混沌系統進行了系統重構，給出了重構后的模糊系統數學模型，然后結合滑模控制，自適應控制理論，設計出了能夠保證分數階誤差系漸近穩定的模糊滑模自適應控制器。仿真結果表明，文章所設計的控制是有效的。

［1］Zeng H，Park J H，Xiao S.Further results on sampled-data control for master-slave synchronization of chaotic Lur’e systems with time delay［J］.Nonlinear Dyn，DOI 10.1007/s11071-015-2199-6.

［2］盧俊國，魏榮，汪小帆，等.連續混沌系統控制與同步的自適應方法［J］.控制與決策，2002，17（1）：114-116.

［3］GE S S，Wang C.Uncertain chaotic system control via adaptive neural design［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12（5）.

［4］劉恒，李生剛，孫業國.帶有未知非對稱控制增益的不確定分數階混沌系統自適應模糊同步控制［J］.物理學報，2015，64（7）.

［5］潘光，魏靜.一種分數階混沌系統同步的自適應滑模控制器設計［J］.物理學報，2015，64（4）.