例談數學方法在地理教學中的實踐應用

錢永

摘 要： 地理是一門跨科學與人文兩個學習領域的學科，數學方法在地理教學中的應用備受關注。本文總結了作者教學實踐中數學集合、數形結合、分類討論、立體幾何、函數與方程等方法在地理教學中的應用，對地理教師的教學實踐有一定的借鑒作用。

關鍵詞： 數學方法 地理教學 實踐應用

地理是一門跨科學與人文兩個學習領域的學科，地理試題中有大量新穎靈活的、綜合性較強的高考題及高考模擬題，尤其關于地球與地圖、大氣環境等自然地理知識類題目難度較大，學生失分較多，此類知識教學已成為地理教學的突破口。教師在解題之中總結出許多寶貴的經驗，深入挖掘學生失分較多的原因，發現單一的地理知識已掌握得比較到位，歸根到底是由于學科之間的知識遷移能力較弱。恰當地應用數學方法，實現定性與定量方法相結合、綜合歸納與理論演繹方法并用，就能發展學生抽象概括能力和邏輯思維能力，培養學生分析問題和解決問題的能力，有利于把握好能力目標的發展點，培養學生的創新意識，進而提高學生的科學素質。下面筆者結合自己的教學實踐談談數學集合、數形結合、分類討論、立體幾何、函數與方程等方法在地理學科教學中的應用，以期對地理教師的教學實踐有一定的借鑒作用。

1.數學集合法

集合方法是指運用集合論語言描述刻畫數學研究對象和關系、運用集合論觀點分析解決問題的方法。很多地理概念存在包含與被包含的關系，或需要進行分類劃分，用語言表達往往比較抽象煩瑣，此時可以借助數學中集合的思想方法表示，會顯得直觀、形象又具有科學性。地理概念可分為以下幾種類型：

（1）從屬關系的概念：如能源、一次能源、常規能源，類似的還有土地資源、土壤資源、耕地資源；銀河系、太陽系、地月系等。

（2）包含并列關系的概念：如降水、降雨、降雪，有些同學總是把降水與降雨、降雪混淆，特別是降水與降雨常常混用，事實上，降雨、降雪只不過是降水的兩個并列獨立子集，用集合表示就很直觀；類似的還有鋒、暖鋒、冷鋒，準靜止鋒；淡水與各種陸地淡水資源的關系等。

（3）交叉關系的概念：如可再生能源、新能源、二次能源；類似的還有自然資源、礦產資源、能源等。

（4）排斥關系的概念：如可再生資源和不可再生資源；巖漿巖、沉積巖、變質巖、褶皺、斷層等[1]。

案例1（湘教版必修1，自然資源的范疇）：

在“自然資源與人類活動”與“自然資源保護”中需要把握一組概念：能源、一次能源、常規能源的從屬關系，如果要從文字上區別，首先得記住這三個概念的定義、內涵與外延，這樣學生的記憶負擔太重，會增加學習難度。如將集合思想滲透地理概念，就淺顯易懂了（見圖1），只不過是簡單的包含與被包含關系，學生很容易明確。

2.數形結合法

數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”。在地理解題中，同樣可以將簡單的文字或數字以圖形的方式呈現，通過抽象思維與形象思維的結合，復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優化地理解題途徑的作用。此思想方法廣泛適合正午太陽高度變化、氣候類型的判斷等知識塊的“滲透”。

案例2（湘教版必修1，正午太陽高度的分布規律）：

正午太陽高度分布規律的教學是高中地理中最難的部分，新教材為降低難度，只給予一個結論性的概括，雖有圖思考，顯然不太直觀，學生學習和理解都感到非常困難，為增加學生學習的直觀性，同時讓學生能夠連貫地思考，現根據數形結合思想重新設計，通過師生共同活動組織教學，以下是教學過程。

通過指導學生閱讀湘教版第20頁的二分二至日正午太陽高度數據，得到以下三組數據（見下表）。

根據三條曲線變化規律歸納與總結正午太陽高度分布規律：同一天，全球各緯度的正午太陽高度由直射緯線向南北兩側遞減。通過師生共同活動，教學過程更加直觀，突破教學難點，徹底打通學習的“任督二脈”。在地理教學中使用數形結合思想方法，可以培養和發展學生的空間觀念和數感，同時豐富學生的形象思維與抽象思維，使多種思維互相促進，有助于培養學生靈活運用知識的能力，更有助于學生綜合能力的提高。

3.分類討論法

所謂分類討論，在數學中也叫“窮舉法”：就是把原問題分解成相對獨立的“小問題”處理，綜合對這些小問題進行解答，便可推證出原問題的結論。

案例3（湘教版必修1 三圈環流）：

三圈環流的形成，這部分內容是高中自然地理中最難理解的知識點之一，內容較為抽象，其中概念和原理離學生實際生活很遠，難以聯系、想象，對學生的抽象思維和空間思維能力要求較高。在講解時，教師需要由淺入深，借助學生已有知識和直觀的圖像，幫助學生深化理解。教學過程如下：形成全球性大氣環流的主導因素有：太陽輻射的緯度差異、地球的自轉、太陽直射點的南北移動。試著根據這三個主導因素來三次假設，層層深入，分類討論，最后綜合總結，得出正確結論。

假設一：地表性質均勻、太陽直射赤道，地球不自轉，繪制單圈環流圖（見圖3）。

假設三：地表性質均勻。

在假設三的基礎上，需要考慮直射點的移動，則氣壓帶與風帶的位置也會移動。

假設四：無。

在假設四的基礎上，需要考慮同一緯度的地表性質差異，則氣壓帶將變成塊狀。

整個分類討論過程層層深入，使復雜問題簡單化，學生學會將大問題分解為幾個子問題，再逐一突破的問題解決方法，培養分析能力和綜合概括能力。

4.幾何法

地理教學中，為使地理原理、規律更加直觀，需要模擬、演示地理實驗或去野外進行地理實踐，而在這些實驗或實踐活動中需要運用幾何方法解決地理問題，如太陽高度角的測定、兩樓間最佳距離的確定等。

案例4（湘教版必修1，黃赤交角）：endprint

必須借助幾何圖形與立體模型說明該概念，同時應用幾何知識理解該概念及影響。黃赤交角的概念，即公轉平面（黃道平面）與自轉平面（赤道平面）的夾角，就是二平面所成的二面角。可通過集合圖形和立體模型說明黃道平面和赤道平面的概念。在說明這兩個概念的時候，可向學生出示地球公轉軌道示意圖（圖5）、地球儀（圖6）及一盞固定安裝于某個高度的白熾燈[2]。

通過上述圖形和模型學生充分理解“赤道面”和“黃道面”這兩個概念。在這樣的知識儲備前提下，教師再出示平面圖（教材P21）。除黃赤交角外，經線與經度、緯線和緯度、地平高度、太陽高度、角速度與線速度等概念及其特點，都可通過數學幾何圖形給學生以直觀、形象的印象，通過幾何知識分析幫助學生正確、深刻地理解概念，從而起到掌握重點、突破難點的作用。另外，在地理實踐活動中學生通過立竿測影計算某地的正午太陽高度角，學生結合幾何方法制作地球儀等地理模型。讓學生動手學習，既能提高學生的動手操作能力，又能激發學生的學習興趣，達到事半功倍的效果。

5.轉化化歸法

所謂轉化化歸法，就是指在解決數學問題的過程中，不直接解決原問題，而是對問題進行變形、轉化，直至把它化歸為某個（些）易解決或已解決的問題。也就是把未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題，然后把這些已知的或簡單的問題的結果作用于原問題而解決原問題的方法。這種方法在解決地理分析計算問題時經常用到。

解析：本題的關鍵條件是α、β之差小于6°，α、β角是太陽光線與地面垂線的夾角，對這兩角的出現開始感覺到陌生、困惑，是否可以將兩角轉化成熟悉的夾角，是解題的突破口。嘗試著過M點作地面切線L3（圖9），標注角1、2，∠1、∠2為二至日正午太陽高度的大小。發現∠1+∠α=∠2+∠β=90°，推導：∠1-∠2=∠β-∠α，即角1、2的差值也小于6°，通過等價轉化，將陌生角的差值轉化為熟悉角的差值——正午太陽高度差值。對于二至日的正午太陽高度差值，進一步轉化為公式，從66.5°-90°、23.5°-66.5°，0°-23.5°三個緯度范圍分別計算M點緯度，其中66.5°-90°之間冬至日是極夜，可以排除；23.5°-66.5°之間二至日的正午太陽高度差值是定值47°，亦可排除。這樣計算就轉化為0°-23.5°之間的相關計算，設M點緯度為x，則H夏至日-H冬至日=[90°-（23.5°-x）][90°-（23.5°+x）]=2x，即2x<6°，x<3°，答案A。本題也可以賦特殊值代入轉化推導。

本題通過角角轉化，將復雜問題轉化為簡單問題，不熟悉的問題轉化為熟悉問題。化歸思想在應用上具有靈活性和多樣性，解題時需要學生依據問題本身提供的信息，利用動態思維尋求有利于問題解決的變換途徑和方法。

6.函數與方程法

函數與方程法是就某個具體問題通過“建模”，轉化成函數或方程，從而解決問題的一種方法。將其運用到地理解題中，瞄準具體的地理計算問題，通過運用地理原理和數學方法將問題中展現的地理各要素關系轉化為相應的方程、函數，然后利用數學知識和地理原理求解[3]。

案例6：讀某地太陽高度日變化值隨日期變化圖（設黑夜太陽高度都為0°），回答問題。則：該地的緯度為（ ）。

此題需要借助函數或方程，通過將太陽高度變化中一些相互制約的變量用函數關系表達出來，并研究這些量間的相互制約關系，最后解決問題，理清思路，降低難度。實際操作過程：地理問題→數學問題→方程問題。

總之，地理教學特別是自然地理教學，綜合性強，難度大，思維方式最接近理科思維，對學生的邏輯推理和綜合分析能力要求較高。數學方法就是開啟地理教學的一把金鑰匙，將數學方法應用于地理教學之中，有助于加強知識遷移、空間想象、地理計算等訓練，同時拓展地理思維水平，開啟地理思維的智慧之門，使地理教學真正由“煩瑣”走向“無瑣”[4]。

參考文獻：

[1]郭姝媛.數學思想方法在高中地理教學中的滲透[D].上海：華東師范大學，2011.

[2]孟凡光.摭談數學思想與方法在解答地理選擇題時的應用[J].地理教學，2010（23）.

[3]孫中旭.地理教學中的數學思考[J].長春教育學院學報，2007（9）.

[4]金光澤.計量思想——高考地理試題所反映出地學思維和方法[J].中國考試，2007（11）.endprint