小區(qū)開放對(duì)周邊道路通行能力影響的對(duì)策模型

李小琴

摘 要 本文通過(guò)建立對(duì)策模型，定量分析小區(qū)開放對(duì)周圍道路通行能力的影響。首先把小區(qū)開放的實(shí)踐活動(dòng)進(jìn)行量化，用增加可通行道路數(shù)表示開放小區(qū)，建立小區(qū)周圍道路通行能力的變動(dòng)大小模型，該模型是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非合作對(duì)策問(wèn)題中的“Nash平衡”問(wèn)題，利用C語(yǔ)言編程仿真計(jì)算，得出影響道路通行能力的一級(jí)指標(biāo)是道路通行能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)建模 對(duì)策論 計(jì)算機(jī)編程

中圖分類號(hào)：U491 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.12.078

The gaming Model of the Influence of District Opening on the

Surrounding Road Capacity

LI Xiaoqin

（Guangdong University of Science and Technology， Dongguan， Guangdong 523079）

Abstract In this paper， through the establishment of game model， quantitative analysis of the influence of open area around the road capacity. The first to quantify cell open practice， by increasing the number of access roads can be said that the open area， changes in the size model of the capacity of the area around the road， the model is the actual problem as a non cooperative game problem the Nash balance problem， using C language programming simulation， the road capacity is an index that affect the traffic capacity of the road.

Keywords mathematical modeling， game theory， computer programming

小區(qū)開放影響小區(qū)周圍道路通行能力。一方面，小區(qū)開放使得小區(qū)周圍可通行道路增多，增多的可通行道路可以承載更多的車流量，提高小區(qū)周圍道路通行能力；另一方面，小區(qū)開放使得小區(qū)與周圍道路連通的交叉口也增多，車輛在交叉口處的行駛速度必然會(huì)降低，影響主路的通行速度，此時(shí)小區(qū)周圍道路通行能力反而會(huì)降低。那么小區(qū)究竟開放還是封閉為好？為了找到評(píng)價(jià)小區(qū)開放對(duì)周邊道路通行的影響的一級(jí)指標(biāo)，我們把開放小區(qū)周圍交通變化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)策問(wèn)題來(lái)研究。

設(shè)某一地區(qū)有n個(gè)不同結(jié)構(gòu)、大小的小區(qū)，各小區(qū)都想盡各種辦法來(lái)緩解小區(qū)周圍的交通堵塞問(wèn)題，如開放小區(qū)，提高服務(wù)水平條件（如派小區(qū)保安進(jìn)行交通管制或安置紅綠燈交通標(biāo)志），聘請(qǐng)高級(jí)建筑設(shè)計(jì)和規(guī)劃人才去更合理的規(guī)劃小區(qū)內(nèi)的道路網(wǎng)絡(luò)等等。顯然，由于同一個(gè)地區(qū)的進(jìn)出的車輛數(shù)，即該地區(qū)的通行能力總量是有限的，則各小區(qū)之間在小區(qū)內(nèi)承受的車流量問(wèn)題上，是存在一定的競(jìng)爭(zhēng)性，因此可利用對(duì)策論知識(shí)來(lái)進(jìn)行研究分析小區(qū)開放對(duì)周邊道路通行能力的影響。

1 問(wèn)題假設(shè)

（1）同一出行高峰期時(shí)，該地區(qū)的全部車流量由這n個(gè)小區(qū)及其周圍道路來(lái)承受。

（2）假設(shè)該地區(qū)在同一出行高峰期時(shí)的全部車流量與小區(qū)通行能力呈負(fù)指數(shù)函數(shù)關(guān)系。小區(qū)的道路通行能力是指保持道路通暢前提下，單位時(shí)間內(nèi)小區(qū)所能承受的最大車流量，也可以轉(zhuǎn)化為各種策略，如開放小區(qū)，即增加小區(qū)內(nèi)通向小區(qū)外的道路條數(shù)，提高服務(wù)水平條件（如派小區(qū)保安進(jìn)行交通管制或安置紅綠燈交通標(biāo)志），聘請(qǐng)高級(jí)建筑設(shè)計(jì)和規(guī)劃人才去更合理的規(guī)劃小區(qū)內(nèi)的道路網(wǎng)絡(luò)等。由于出行者都偏于使用通行能力高的道路，則如果該地區(qū)全部車流量越小，相當(dāng)于小區(qū)之間競(jìng)爭(zhēng)就越激烈，小區(qū)需要的道路通行能力就越高，因此假定該地區(qū)在一定出行高峰期內(nèi)的全部車流量與小區(qū)道路的通行能力呈負(fù)指數(shù)函數(shù)關(guān)系是合理的。

（3）假設(shè)小區(qū)道路通行能力與提高小區(qū)對(duì)車輛車主的服務(wù)水平呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系。為了要提高小區(qū)對(duì)車輛車主的服務(wù)水平，就會(huì)吸引更多的車輛使用該小區(qū)的道路，從而增加了該小區(qū)的通行能力。所以該假設(shè)也是合理的（見表1）。

2 該模型的符號(hào)說(shuō)明

則在該出行高峰期內(nèi)小區(qū)的收益函數(shù)為 ，該收益函數(shù)反映的是小區(qū)通行能力的變動(dòng)大小。

通常在同一地區(qū)內(nèi)，道路通行能力總量是有限的，故該地區(qū)對(duì)小區(qū)內(nèi)平均每條可通行道路的道路通行能力需求不僅受本小區(qū)道路策略的影響，還受其他小區(qū)道路策略的影響。當(dāng)其它小區(qū)采取更有效的策略來(lái)競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，出行者對(duì)小區(qū)i的通行能力需求Vi就會(huì)隨之變化，從而影響到小區(qū)的道路通行能力的變化量（也即對(duì)策論中的收益），從而可設(shè)小區(qū)的收益函數(shù)為 。因此每個(gè)小區(qū)在制定本小區(qū)道路通行策略時(shí)就會(huì)考慮到其它小區(qū)的道路通行狀況。故可以將此問(wèn)題建立為一個(gè)Nash平衡對(duì)策模型。

3 問(wèn)題分析及建立對(duì)策模型

利用文[1]中的方法，可以建立為以下對(duì)策模型：

其中，為該地區(qū)道路通行能力的最大需求量。

由Largrange乘數(shù)法原理得，則Largrange函數(shù)

求偏導(dǎo)數(shù)得

則由微積分極值原理得，滿足以上條件的策略是一個(gè)條件極值點(diǎn)，也是一個(gè)Nash平衡點(diǎn)。

當(dāng)忽略約束條件時(shí)，該問(wèn)題對(duì)應(yīng)的Nash平衡點(diǎn)滿足的條件變?yōu)椋篹ndprint

由于一個(gè)策略必定受各種因素的影響，不妨設(shè)受兩個(gè)不同的因素影響，故可通過(guò)不同一量綱的參量和來(lái)量化，從而可定義，因此可以表示為。此時(shí)，Nash平衡點(diǎn)可表示為：

其中，為小區(qū)的最高通行能力，實(shí)際中，每個(gè)小區(qū)都會(huì)通過(guò)各種策略來(lái)提高該小區(qū)的道路通行能力，也即提高整個(gè)地區(qū)對(duì)小區(qū)內(nèi)平均每條可通行道路的通行能力需求，但道路通行能力需求的提高不是無(wú)限量的，它要受各小區(qū)最高通行能力的限制，因此要制定約束條件。

4 解決問(wèn)題

利用文[2]的Nash-Cournot平衡點(diǎn)求解方法求解以上模型。

算法思想是：任何一個(gè)小區(qū)的最優(yōu)策略是在競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手制定的策略已定的情況下，以max為目標(biāo)制定的，即符合條件：

其中為小區(qū)內(nèi)可通行車道數(shù)，整個(gè)地區(qū)對(duì)小區(qū)內(nèi)平均每條可通行道路的通行能力需求，為小區(qū)的道路通行能力的占有率，由假設(shè)2得，是小區(qū)的競(jìng)爭(zhēng)策略的函數(shù)，且，，為該地區(qū)道路通行能力的最大需求，為提高服務(wù)水平的量， 為提高服務(wù)水平帶來(lái)的單位效益，定義，由于，不是相同的量綱，所以可以用表示，表示除了，之外的其它因素對(duì)小區(qū)的通行能力的影響，此處假設(shè)==…=， 衡量除了之外的其它因素對(duì)的影響，此處假設(shè)==…=， 表示在一定出行高峰期內(nèi)小區(qū)的原有通行能力，由假設(shè)3得。

根據(jù)以上所述的條件，將整個(gè)平衡點(diǎn)的求解分成以下兩種情況：

（1）給定時(shí)求解（），步驟如下

①取初始值，記為；

②在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，求每個(gè)小區(qū)的；

③利用求；

④如果（也就是全部的轉(zhuǎn)到步⑤，否則轉(zhuǎn)到步②；

（5）求得每個(gè)小區(qū)的決策變量（）。

（2）變動(dòng)時(shí)求最終的

①取初始值的，記；

②利用以上給定時(shí)（）的求解方法，計(jì)算出在給定時(shí)的；

③令 ，其中為小區(qū)的最高通行能力。

④如果，則結(jié)束，否則轉(zhuǎn)步②。

為了簡(jiǎn)便，不妨假設(shè)該地區(qū)有兩個(gè)小區(qū)，并令=100，，=50，， =0.01， =0.0001。則由以上算法編程（Turbo C V2.0編譯的C語(yǔ)言程序）算得，運(yùn)行結(jié)果見表1—表3。

由結(jié)果可知：

（1）在兩小區(qū)的最大通行能力都大于且相等時(shí)，如 ==800，運(yùn)行結(jié)果見表2。由表2可知，兩個(gè)小區(qū)的各項(xiàng)參數(shù)相同，也就是兩小區(qū)的通行能力占有率相同，則所采取的競(jìng)爭(zhēng)策略一樣，得到的收益也一樣。

（2）在兩小區(qū)的最大通行能力都大于但不相等時(shí)，比如=700，=800，運(yùn)行結(jié)果見表3。由表3可見，所得的Nash平衡點(diǎn)與以上情形相同。通行能力大的小區(qū)由于能力閑置而遭受的資源損耗大于通行能力小的小區(qū)，所以實(shí)際中，通行能力大的小區(qū)的通行能力變化量會(huì)小于通行能力小的小區(qū)的通行能力變化量。而上述的假設(shè)得到的收益函數(shù)也忽略這點(diǎn)，故由程序算得的結(jié)果與實(shí)際情況是吻合的。

（3）當(dāng)一個(gè)小區(qū)的最大通行能力大于，另一個(gè)小區(qū)的最大通行能力小于時(shí)，如=600，=450和=600，=430等，結(jié)果見表4。

由表4可知，（1）兩個(gè)小區(qū)的道路通行能力各自在整個(gè)地區(qū)的道路通行能力所占比重隨著道路通行能力小的小區(qū)的通行能力變化而變化，而且所占比重變化的幅度與道路通行能力的變化幅度相同；（2）隨著道路通行能力小的小區(qū)的道路通行能力降低（即小區(qū)封閉），道路通行能力大的小區(qū)的可通行道路數(shù)會(huì)上升、其小區(qū)交通管制服務(wù)水平也隨之提高，其道路通行能力變化量也提高，而道路通行能力小的小區(qū)恰好與之相反。因此，為了得到最大通行能力變動(dòng)，能力大的小區(qū)應(yīng)增加可通行的道路數(shù)（即開放小區(qū)），為了保住原有行駛車輛和吸引更多行駛車輛的順利通行，各小區(qū)必定會(huì)提高道路通行管制的服務(wù)水平，而道路通行能力小的小區(qū)則應(yīng)采取減少可通行道路數(shù)的方法（即封閉小區(qū)），由于一個(gè)地區(qū)的道路通行能力總量有限，各小區(qū)必定會(huì)降低道路通行管制的服務(wù)水平，最終達(dá)到一個(gè)Nash平衡。

由以上分析結(jié)果得，模型求解的結(jié)果與實(shí)際情況相吻合，同時(shí)，并不是對(duì)所有小區(qū)來(lái)說(shuō)都應(yīng)開放小區(qū)、提高道路通行管制的服務(wù)水平和聘請(qǐng)高水平的道路運(yùn)輸規(guī)劃人才等措施越多，小區(qū)的道路通行能力變化量就會(huì)越大，而是應(yīng)根據(jù)本小區(qū)和其它小區(qū)的最高大通道路通行能力，來(lái)決定是否適合開放小區(qū)。

基金項(xiàng)目：廣東科技院級(jí)“質(zhì)量工程”立項(xiàng)建設(shè)項(xiàng)目《基于數(shù)學(xué)建模視角的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索——以我院計(jì)算機(jī)專業(yè)為例》，項(xiàng)目編號(hào)：CQ2016052

參考文獻(xiàn)

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[2] 師欣.港口競(jìng)爭(zhēng)對(duì)策模型的研究.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，Vol.9，No.9，27-33，1998，9.endprint