抓住關(guān)鍵點，突出實效性
——《密鋪》教學(xué)及思考

○承德縣三溝學(xué)區(qū)中心校 王永成

在送教下鄉(xiāng)研討活動中，聽了一位教師的《密鋪》一課。

課前，教師和學(xué)生一起復(fù)習(xí)了多邊形內(nèi)角和以及正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)。上課伊始，教師通過鋪地磚的生活情境引領(lǐng)學(xué)生認識了密鋪的特點：無空隙、不重疊。然后引導(dǎo)學(xué)生操作探究，哪些圖形能單獨密鋪，哪些不能。最后觀察能單獨密鋪的圖形，探究密鋪的奧秘。可在練習(xí)環(huán)節(jié)時，有學(xué)生依然認為正六邊形不能單獨密鋪，其原因是，用正六邊形地磚鋪地，四周沒有鋪整齊！

雖然這位教師的課上得行云流水，環(huán)環(huán)相扣，但一節(jié)課即將結(jié)束，有些學(xué)生還沒有領(lǐng)會密鋪的實質(zhì)，這不能不引起我們的深思。

一、認識密鋪

備課時，我們不僅要抓住知識的生長點、延伸點、重點、難點，更要抓住知識的關(guān)鍵點。就《密鋪》一課而言，其關(guān)鍵點是密鋪圖形的拼接點。只有抓住這一點，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生從生活經(jīng)驗上升到數(shù)學(xué)經(jīng)驗。如若不然，學(xué)生對密鋪的認識就會受到生活經(jīng)驗的干擾，形成障礙，不利于后續(xù)學(xué)習(xí)。

師：出示正方形和正五邊形地磚。如果是你家鋪地面，你會選擇哪種地磚？

生：選擇正方形地磚。

師：為什么呀？

生：用正方形地磚鋪地面無空隙，而用正五邊形地磚鋪地面有空隙。

師：那在上面再鋪一層，行嗎？

生：不行，那樣不美觀！

師：咱們鋪地磚的時候要無空隙、不重疊。像咱們教室里的地磚都是正方形的，而衛(wèi)生間的墻磚都是長方形的。這種無空隙、不重疊的鋪法，在數(shù)學(xué)上我們就稱之為“密鋪”。

教師利用正方形、正五邊形地磚鋪地的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比、認識密鋪。又讓學(xué)生觀察教室地磚、回憶衛(wèi)生間墻磚來加深對密鋪的認識。恰巧的是，不論是正方形單獨密鋪，還是長方形單獨密鋪，密鋪后都會形成一個大正方形或大長方形，四周整齊。這種非本質(zhì)屬性干擾了學(xué)生對密鋪特點的認識，致使練習(xí)時有學(xué)生依然認為四周不整齊就不是密鋪。

教學(xué)建議

密鋪圖形的本質(zhì)屬性是拼接點處無空隙、不重疊。在認識密鋪時，教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住這一關(guān)鍵點，重點引導(dǎo)學(xué)生對比、觀察拼接點處是否有空隙、不重疊，淡化四周是否整齊這一非本質(zhì)屬性，避免因生活經(jīng)驗帶來的“后遺癥”。學(xué)生初步認識了密鋪的特點，對密鋪的理解尚不深入，甚至還存有疑惑，這也正好為下一環(huán)節(jié)猜測、探究圖形密鋪，深入理解密鋪做鋪墊。

二、理解密鋪

課堂教學(xué)時，我們只有抓住問題的關(guān)鍵，才能有效地突破重點、難點。就《密鋪》一課而言，讓學(xué)生理解密鋪的特點，其關(guān)鍵是理解密鋪圖形的拼接點處無空隙、不重疊。在課堂教學(xué)中，我們要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的不同見解，根據(jù)學(xué)生的不同見解進行質(zhì)疑研討，從而加深學(xué)生對密鋪的理解，讓學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

師：出示正三角形、正六邊形、正八邊形。猜一猜，這些圖形哪種能單獨密鋪，哪種不能？

生1：我認為全都能單獨密鋪。

生2：正三角形、正六邊形能單獨密鋪。

生3：正八邊形不能單獨密鋪。

師：以上只是我們的猜測，要想知道我們猜得對不對，應(yīng)該怎么辦？

生：實驗驗證。

師：把你們的驗證結(jié)果展示給大家好嗎？

生1：正三角形能夠單獨密鋪。

（學(xué)生把密鋪的正三角形貼到黑板上。）

生2：正六邊形能夠單獨密鋪。

（學(xué)生把密鋪的正六邊形貼到黑板上。）

生3：正八邊形不能單獨密鋪。

（學(xué)生把不能密鋪的正八邊形貼到黑板上。）

師：想一想，有的圖形能夠單獨密鋪，有的圖形卻不能，這跟誰有關(guān)系呢？

生：好像跟角有關(guān)系。

教師讓學(xué)生根據(jù)密鋪的特點，猜測正三角形、正六邊形、正八邊形能否單獨密鋪，引導(dǎo)學(xué)生操作探究。經(jīng)過實驗驗證，有學(xué)生得出結(jié)論：正三角形、正六邊形能夠單獨密鋪，而正八邊形不能單獨密鋪。于是，教師便順理成章地讓學(xué)生思考：有的圖形能夠單獨密鋪，有的圖形卻不能，這跟誰有關(guān)系呢？表面看一帆風(fēng)順，毫無懸念，學(xué)生都理解了密鋪。實際上，教師沒有給其他學(xué)生機會，學(xué)生難以發(fā)出不同的聲音，也正是這種表面的“平靜”掩蓋了課堂教學(xué)的實質(zhì)。

教學(xué)建議

教學(xué)應(yīng)該慢下來，給學(xué)生創(chuàng)造機會，多表達自己的見解，便會有意想不到的收獲。學(xué)生認識了密鋪的特點，知道了長方形、正方形都能單獨密鋪。通過動手操作，有學(xué)生認為正三角形、正六邊形也能單獨密鋪，而正八邊形不能單獨密鋪。這時，我們要停下來，聽聽學(xué)生的不同聲音，教師要善于從中發(fā)現(xiàn)問題，“挑撥離間”，引起爭議，讓學(xué)生在爭議、研討中理解密鋪的本質(zhì)特征，進而進行課堂小結(jié)：判斷一種圖形能否單獨密鋪，要看拼接點處是否有空隙、不重疊。

三、探究密鋪

課堂教學(xué)時，我們只有抓住關(guān)鍵點，才能把問題引向深入。就《密鋪》一課而言，探究圖形密鋪的奧秘，其關(guān)鍵是觀察拼接點處各角的度數(shù)。拼接點處各角的度數(shù)之和等于360°的多邊形就能單獨密鋪，反之則不能。抓住這一關(guān)鍵引領(lǐng)學(xué)生觀察、探究，讓探索樂園真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園。

師：觀察能單獨密鋪的圖形，小組合作交流的問題是“跟角到底有怎樣的關(guān)系”。

生1：它們所組成的角都是360°。

師：它們都是誰呀，在哪里？

生1：到前面指著正三角形的拼接點。

師：請你把組成360°的角畫出來好嗎？

生1：在拼接點處畫出周角。

師：還有不同意見嗎？

生2：正六邊形每個內(nèi)角都是120°，3個內(nèi)角正好是360°。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生3：正五邊形不能密鋪，3個內(nèi)角的度數(shù)是324°，組不成360°。正八邊形也不能密鋪，它的內(nèi)角也組不成360°。

師：是呀，經(jīng)過觀察、計算我們知道，一個圖形的幾個內(nèi)角組成360°，這個圖形就能單獨密鋪。那么請你判斷一下：平行四邊形能單獨密鋪嗎？

生：不能。

學(xué)生猜測能單獨密鋪的圖形跟角有關(guān)。于是，教師便讓學(xué)生觀察跟角有怎樣的關(guān)系。課堂上，我們發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生觀察的是拼接點處各角，而有的學(xué)生觀察的是多邊形的內(nèi)角。即便在老師引導(dǎo)下，總結(jié)出了一個圖形的幾個內(nèi)角組成360°，這個圖形就能單獨密鋪，但學(xué)生對密鋪圖形的奧秘還停留在正多邊形。課堂上，教師沒能有意識地引領(lǐng)學(xué)生觀察拼接點處各角的度數(shù)，致使有些學(xué)生認為平行四邊形不能單獨密鋪。

教學(xué)建議

探究多邊形密鋪的奧秘，既要抓住關(guān)鍵點，又要注重層次性。所謂抓住關(guān)鍵點，就要引導(dǎo)學(xué)生觀察拼接點處各角的度數(shù)。所謂層次性就是先讓學(xué)生觀察正多邊形，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)正多邊形的幾個內(nèi)角能組成360°，這個正多邊形就能單獨密鋪，否則就不能。然后進行拓展，我們知道長方形、正方形都能單獨密鋪，你能說出為什么嗎？那平行四邊形能單獨密鋪嗎？學(xué)生就會利用平行四邊形兩角互補推斷出平行四邊形也能單獨密鋪。進而得出結(jié)論：拼接點處各角度數(shù)之和等于360°，這個圖形就能單獨密鋪。