淺析經典數學的邏輯基礎

黃妃智

摘 要：目前，對于經典數學的邏輯基礎，很多學者持有不同的意見，主要有兩個分支：一部分學者認為經典數學的邏輯基礎為一階邏輯，還有一部分學者認為經典數學的邏輯基礎是二階邏輯。這兩種觀點之間沒有得到統一。經典數學的邏輯基礎不僅與一階邏輯有關，同時也離不開二階邏輯，一階邏輯和二階邏輯作為經典數學的邏輯基礎不存在矛盾性。

關鍵詞：經典數學；邏輯基礎；一階邏輯；二階邏輯

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）06-0173-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.06.110

目前，經典數學理論的邏輯基礎主要有兩種爭論，一個是一階邏輯，一個是二階邏輯。自上個世紀20年代至今一直是邏輯學爭論的問題，到現在還沒有達成一致。目前，數學基礎的任務是在重構數學分支的過程中給出各個數學分支間的關系，描繪出數學的大圖景。因此，在這種狀況下，數學基礎的研究必須涉及二階邏輯。不論是一階邏輯還是二階邏輯的邏輯學家和數學家，都承認經典數學，但是主張一階邏輯的邏輯學家和數學家認為，經典數學的邏輯基礎是一階邏輯；而主張二階邏輯的邏輯學家和數學家認為，經典數學的邏輯基礎是二階數學。本文的主要觀點為經典數學的邏輯基礎以一階邏輯為主，但是二階邏輯同樣起到一定的作用。

一、相關定義

（一）一階邏輯

一階邏輯是一種形式系統（Formal System），即形式符號推理系統，也叫一階謂詞演算、低階謂詞演算（Predicate Calculus）、限量詞（Quantifier）理論，也有人稱其為“謂詞邏輯”，雖然這種說法不夠精確。總之，不管怎么說，一階邏輯就是一種形式推理的邏輯系統，是一種抽象推理的符號工具。

（二）二階邏輯

在邏輯和數學中，二階邏輯是一階邏輯的擴展，一階邏輯是命題邏輯的擴展。二階邏輯接著被高階邏輯和類型論所擴展。一階邏輯和二階邏輯都使用了論域（有時叫做“域”或“全集”）的想法。論域是可以在其上量化的個體元素的集合。一階邏輯只包括取值為論域的個體元素的變量和量詞。例如，在一階句子？坌x（x≠x+1）中，變量x被用來表示一個任意的個體。二階邏輯擴展了一階邏輯，通過增加取值在個體的集合上變量和量詞。

二、一階邏輯和二階關系的不矛盾性

目前已經有很多邏輯學家或者哲學家能夠認可一階邏輯的存在，這是由于一階邏輯在語義和語法上的一致性，主要表現為一階邏輯在語法后承和語義后承方面一致性。但是即使如此，一階邏輯也不能證明完全作為基礎數學的邏輯基礎。這是由于，如果僅憑一致性和合理性確定邏輯的標準，那么會出現更多的邏輯思想作為經典數學的邏輯基礎，顯然很多邏輯是不可以作為經典數學的基礎的。追溯到數學和邏輯史可以發現，一階邏輯的出現相對高階邏輯反而較晚，因此表明，一階邏輯作為經典數學的基礎并非是研究者的最初目的。

第一個提出一階邏輯的完全性觀點的邏輯學家是希爾伯特，于1929年提出。次年，哥德爾對一階邏輯的完全性給出證明。一階邏輯的提出和證明極大地推動了邏輯學的發展。二階邏輯和一階邏輯的存在并沒有存在很大反差，相反，一階邏輯的出現和研究推動了二階邏輯的發展。因此，學者在對于二階邏輯的研究過程中，不得不承認一階邏輯的合理性，同時承認二階邏輯在某些方面比一階邏輯更具優越性，例如對數學性質的建模與反映等方面。

本文對當代哲學家支持一階邏輯的具體觀點進行表述。哲學家蒯因認為二階邏輯在語義方面包含“類”的概念，使邏輯學和數學之間的邊界變得模糊不清，但是邏輯學和數學是兩個不同的學科分類，應該有明確的界限劃分。單從蒯因所持有的觀點上來看，看不出數學和邏輯學之間的明顯界限。從數學邏輯的角度分析，一階邏輯的語義學同樣包含了數學的概念。因此，數學和邏輯學之間是存在內在聯系的，無法清晰的劃分開。以一階邏輯為例，一階邏輯中包含一階算數理論，其中包含自然數的函數，函數本身是自變量與因變量的關系，這就導致一階算數理論涉及個體域上的關系類。蒯因認為這樣的說法由于缺少二階約束而不存在實質性的理論關系。在這個方向考慮，蒯因認為二階邏輯的根本是集合論，因此在討論二階邏輯時不可以帶有明顯的傾向性，因為集合不是純粹的固定性數學思維。但是如果是一個完全的整體主義，那么數學和邏輯之間是否存在清楚的界限是沒有必要討論的。蒯因對于二階邏輯的討論，承認二階邏輯的本體論承諾，同時還要保證隨著本體承諾增加二階邏輯的合法性，這是因為一階邏輯同樣包含了對于數集的討論。

更進一步說，由于邏輯學和數學沒有明確的劃分，我們可以通過已經得到的數學成果來討論邏輯學的內容，通過一些公式判斷二階邏輯的評價是否合理。關于二階邏輯語義的評價和批評存在一定的容許度，這是由于個體域及其子類的確定存在確定的關系。

直到羅素悖論出現時，戴德金和皮阿諾的邏輯思想仍然得以繼續發展，二階邏輯也沒有受到影響。直至今日，出現問題的根源是語義的混亂或者語境的使用不恰當。支持二階邏輯的研究者對于二階邏輯語義的反對沒有一階邏輯的語義反駁那么強烈，因為在二階邏輯中包含了集合的概念。我們不得不承認在數學中，直覺同樣發揮著一定的作用。在對數學結構的二階邏輯描述時，可以對子集的直覺上的概念保持固有的看法。

假設持一階邏輯主張的研究者不是相對主義者，同時還肯定算數結構的唯一概念，那么這名學者就會承認一階邏輯語言并非適用于任何場所。如果只有一階邏輯理論的存在，那么在一些模型分析和嵌入問題上很難完成。這時不得不借助二階邏輯對于嵌入模型的刻畫功能進行補充和配合。

三、結語

一階邏輯主要描述元素的子結構，二階邏輯增加了集合的概念，即可以通過集合描述任意多的元素。因此，二階邏輯比一階邏輯具有更強的表達功能，在分析數學的邏輯基礎時，不可以單純的分析一階邏輯或者二階邏輯，二者可以作為不矛盾的存在進行同時分析。

參考文獻：

[1] 張賢勇，熊方，莫智文.程度與精度的邏輯差近似算子的性質[J].數學的實踐與認識，2011（18）.

[2] 張賢勇，莫智文.精度與程度的邏輯差近似算子及其性質[J].四川師范大學學報（自然科學版），2011（4）.endprint