基于類(lèi)比思想的幾何定理教學(xué)實(shí)踐與思考

姬艷玲

【摘 要】結(jié)合“角平分線的性質(zhì)與判定”的教學(xué)，文章從“課堂引入時(shí)滲透類(lèi)比思想、定理探究時(shí)滲透類(lèi)比思想、定理應(yīng)用時(shí)滲透類(lèi)比思想”三方面入手，闡述了基于類(lèi)比思想的幾何定理教學(xué)實(shí)踐與思考，并通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，讓學(xué)生在掌握“四基”的同時(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升關(guān)鍵能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】類(lèi)比思想；教學(xué)實(shí)踐；數(shù)學(xué)思考

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2018）34-0128-02

引言

在一次片區(qū)教研活動(dòng)中，張老師為大家展示了一節(jié)滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)（上）“角平分線的性質(zhì)與判定”的研討課，課后的研討交流中，既有共識(shí)的達(dá)成，也產(chǎn)生了認(rèn)識(shí)上的分歧與爭(zhēng)議.現(xiàn)撰寫(xiě)下來(lái)，與同行們分享交流。

一、課堂簡(jiǎn)錄

1.類(lèi)比思考，引入課題。

教師：本章的課題是什么？

學(xué)生：軸對(duì)稱(chēng)圖形與等腰三角形.

教師：我們主要探究了哪些軸對(duì)稱(chēng)圖形？

學(xué)生：線段、等腰三角形和角.

教師：在這三個(gè)幾何圖形中，我們已經(jīng)研究了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段中垂線的尺規(guī)作圖、性質(zhì)與判定，那么，對(duì)于“角”我們?cè)谏瞎?jié)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了它的尺規(guī)作圖，接下來(lái)該如何研究呢？（引出課題）

2.動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)。

教師出示問(wèn)題：如圖1，請(qǐng)同學(xué)們用尺規(guī)作圖作出∠AOB的平分線OC，然后在OC上任意取一點(diǎn)P，分別過(guò)P點(diǎn)作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，探索PD、PE有什么數(shù)量關(guān)系？（學(xué)生動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)PD與PE的數(shù)量關(guān)系）

生1：我通過(guò)測(cè)量，發(fā)現(xiàn)PD=PE.

生2：我通過(guò)折疊，也發(fā)現(xiàn)PD=PE.

教師：能把你們的發(fā)現(xiàn)用一句話總結(jié)一下嗎？

生3：在角平分線上任意取一點(diǎn)，向這個(gè)角的兩邊作垂線，垂線段的長(zhǎng)相等.

教師：“垂線段的長(zhǎng)”也可以說(shuō)成“點(diǎn)到角兩邊的距離”.哪位同學(xué)能把學(xué)生3的總結(jié)說(shuō)的更簡(jiǎn)潔一些？

生4：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

教師：非常好！那么，我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)結(jié)論正確嗎？（齊答：不一定）怎么辦？（需要證明）

3.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，證明性質(zhì)。

問(wèn)題1：命題證明一般要經(jīng)歷怎樣的過(guò)程？學(xué)生回顧命題證明的一般過(guò)程.之后，結(jié)合圖形，師生共同寫(xiě)出已知、求證.

問(wèn)題2：證明“PD=PE”，我們有什么辦法？（學(xué)生：三角形全等）那么，你們開(kāi)始證明吧！

教師指定一名學(xué)生板書(shū)證明過(guò)程，然后，師生互評(píng)，強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性，最后歸納性質(zhì)定理.

定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

如圖1，若OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，且PD⊥OA，PE⊥OB，則PD=PE.

4.自主思考，探索判定。

教師：剛才我們一起研究了“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.”這個(gè)性質(zhì)定理，請(qǐng)大家思考，它的逆命題如何寫(xiě)？是真命題還是假命題？

生5：逆命題是“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.”

生6（反駁）：不對(duì)，應(yīng)該加上“在一個(gè)角的內(nèi)部”這個(gè)條件.

教師：佩服，老師竟沒(méi)有想到.

生5（接著講）：此問(wèn)和性質(zhì)一樣，用“HL”定理證明兩個(gè)直角三角形全等即可.（學(xué)生以下講解過(guò)程略）

教師：對(duì)于角平分線的判定定理，在使用時(shí)，要注意必須是在一個(gè)角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，否則不成立.

歸納定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

如圖2，若PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，且PD=PE，則點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.

思考1：如圖3，若PD=PE，但沒(méi)有“PD⊥OA，PE⊥OB”這個(gè)條件，能不能判定OC是∠AOB的平分線呢？

思考2：如圖4，若PD=PE，且OD=OE，能不能判定OC是∠AOB的平分線呢？

5.出示例題，應(yīng)用定理。

已知：如圖5，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P.

解答：（1）點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？

（2）點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離有什么關(guān)系？

（3）若設(shè)點(diǎn)P到邊BC的距離為r，∠A、∠ABC、∠ACB所對(duì)的邊為a，b，c，你能用a，b，c，r表示△ABC的面積嗎？

二、數(shù)學(xué)思考

1.課堂引入，滲透類(lèi)比思想。

等腰三角形、線段中垂線的研究思路應(yīng)該說(shuō)是研究角平分線的最好方法，因此，上課伊始，授課者通過(guò)復(fù)習(xí)等腰三角形、中垂線的有關(guān)內(nèi)容，提出“對(duì)于角，我們?cè)谏瞎?jié)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了它的尺規(guī)作圖，接下來(lái)該如何研究呢？”在類(lèi)比中自然引入課題，使學(xué)生自然而然地明白這節(jié)課該干什么.這種“類(lèi)比思考，引入課題”的方法符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)和認(rèn)知規(guī)律，找準(zhǔn)了新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和切入點(diǎn)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)鋪設(shè)了綠色通道.

2.定理探究，滲透類(lèi)比思想。

幾何定理探究的一般規(guī)律是：“發(fā)現(xiàn)定理—證明定理—應(yīng)用定理”.教學(xué)中，授課者通過(guò)類(lèi)比等腰三角形、中垂線的探究思路，讓學(xué)生動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”這一結(jié)論，然后以“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”，通過(guò)小組合作完成對(duì)性質(zhì)的探索與證明，最后以“請(qǐng)大家思考，它的逆命題如何寫(xiě)？是真命題還是假命題？”引入學(xué)生對(duì)判定定理的自主探究與思考.因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)有了對(duì)等腰三角形、線段中垂線的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，加之三角形全等判定的學(xué)習(xí)，所以課堂上，學(xué)生活動(dòng)開(kāi)展順利，角平分線性質(zhì)與判定的獲得自然.而且，學(xué)生在知識(shí)遷移、類(lèi)比思考中再次獲得了研究幾何性質(zhì)與判定的一般經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的探究意識(shí)，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.定理應(yīng)用，滲透美育教育。

應(yīng)用定理是幾何定理教學(xué)中必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，課堂中，授課者通過(guò)對(duì)例題的變式，不但實(shí)現(xiàn)了鞏固定理的目的，而且讓學(xué)生在動(dòng)手操作中感受數(shù)學(xué)之美，滲透美育教育.

例題教學(xué)時(shí)，授課者通過(guò)把“證明”變?yōu)槿齻€(gè)問(wèn)題串，使問(wèn)題變得淺顯易懂，增強(qiáng)了學(xué)生解答問(wèn)題的自信心，拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.特別是在問(wèn)題（2）的解答中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：“點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等”結(jié)論后，老師讓學(xué)生“以P為圓心，P到邊BC的距離為半徑畫(huà)圓，看看有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，興奮的叫了起來(lái)：“哇，整個(gè)圓都在三角形的內(nèi)部，而且和各邊只有一個(gè)公共點(diǎn).”不僅為九年級(jí)學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)切圓作了充分而必要的準(zhǔn)備，而且學(xué)生很容易與前面學(xué)過(guò)的三角形的三條中垂線交點(diǎn)作的三角形的外接圓做類(lèi)比.正如法國(guó)著名雕塑家羅丹所說(shuō)“世界上并不缺少美，只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛.”這句話同樣適用于數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是幾何教學(xué).此時(shí)不僅滲透了數(shù)學(xué)的美，而且激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

總之，本課教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)類(lèi)比情境、適當(dāng)提問(wèn)，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，教師給出研究思路，學(xué)生沿著教師預(yù)設(shè)的思路進(jìn)行研究，讓學(xué)生不知不覺(jué)中發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的全過(guò)程，對(duì)問(wèn)題解決活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，幾何圖形研究經(jīng)驗(yàn)的積累，發(fā)展能力，具有積極的意義.再加上與線段中垂線課時(shí)安排完全類(lèi)似，一以貫之，所以從學(xué)生課堂上的反應(yīng)看他們并不吃力.

三、教學(xué)建議

教學(xué)永遠(yuǎn)是一門(mén)遺憾的藝術(shù).本節(jié)課授課者雖然做的非常完美，但仍存在值得商榷的問(wèn)題.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得有必要的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo).其實(shí)現(xiàn)的基本途徑是從學(xué)生自己熟悉的生活背景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與周?chē)澜绲穆?lián)系以及數(shù)學(xué)在社會(huì)生活中的作用及意義.因此教師要改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，聯(lián)系生活實(shí)際，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得生活經(jīng)驗(yàn).寓數(shù)學(xué)知識(shí)于學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的活動(dòng)之中，使抽象的教學(xué)知識(shí)以直觀形象，豐富多彩的客觀事物為載體.這節(jié)課所選的不論是例題，還是練習(xí)，甚至于連作業(yè)都是純粹的數(shù)學(xué)題，無(wú)疑是脫離了實(shí)際生活.如果在導(dǎo)入新課之前創(chuàng)設(shè)情境“如圖6，為了促進(jìn)我縣經(jīng)濟(jì)發(fā)展，縣政府決定要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)魔幻城，要使這個(gè)魔幻城到三條公路的距離相等，應(yīng)在何處修建？”或者在練習(xí)中設(shè)計(jì)一個(gè)思考題：“如圖7，要在我校后面的S區(qū)建一個(gè)超市，使它到兩條路的距離相等，且離兩公路交叉處100米，應(yīng)建在何處？（比例尺為1：10000）”

這樣才能夠讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)就在身邊，生活中充滿著豐富的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

另外，教師還應(yīng)增加開(kāi)放性的問(wèn)題，給學(xué)生充分自主、自由、開(kāi)放的探究空間.讓學(xué)生享受自我探究，自我創(chuàng)造的快樂(lè)，發(fā)展學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和自主創(chuàng)新能力.如在練習(xí)中可以設(shè)置這樣的問(wèn)題：“如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則（1）圖中相等的線段有哪些？相等的角有哪些？（2）那條線段與DE相等？為什么？（3）若AB=10，BC=8，AC=6，求AE的長(zhǎng)和△BED的周長(zhǎng).”

參考文獻(xiàn)

[1]鄭燕紅.吳增生.且行切思，發(fā)展“四能”.中國(guó)數(shù)學(xué)教育.

[2]張東.有理數(shù)減法法則教學(xué)探究性思考.中國(guó)數(shù)學(xué)教育.