一類三循環半群的研究

徐文鋒

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

逆半群作為群最臨近的推廣,在半群理論中具有非常重要的作用.循環半群和雙循環半群因其生成元簡單,結構優美,一直以來對它們的研究都非常活躍,得到了許多很好的結論.文獻［2-3］研究了雙循環半群的同余刻畫,文獻［4-5］研究了廣義雙循環半群，文獻［6］研究了一類特殊的三循環半群，文獻［8］研究了4-循環半群的一個子半群，文獻［7］研究了一類多循環半群.作為雙循環半群的推廣，本文研究了一類特殊的三循環半群.文中所用到的半群代數理論中的基本概念以及記號，如半群、循環半群、冪等元等，均與文獻[1]相同，本文將直接引用而不再一一定義.

三循環半群根據其三個生成元之間關系的不同而得到不同的結構.例如，在文獻［6］給出了三循環半群＜p，的結構，在文獻［7］研究了三循環半群的結構.本文所要研究的三循環半群定義如下本文討論三循環半群 T 的元素結構，其中 N表示全體自然數集合.

1 三循環半群的元素結構

定理1 三循環半群T中的每一個元素都可以唯一的表示為aibjck,其中i，j，k∈N.

在證明定理1之前，先來討論下面引理.

引理1 對于T中的元素a，b，c,有cia=abi,其中i∈N.

證 對i作數學歸納法.當i=0時有a=a,結論顯然成立.假設結論對i時成立，那么i+1時，根據T的定義有ca=ab，因此有ci+1a=cica=ciab=abib=abi+1.證畢.

引理3 對于T中的元素b，c，若有j≥1，則有cibj=bi+j,其中i∈N.

證 對i作數學歸納法.當i=0時有bj=bj,結論顯然成立.假設結論對i時成立，那么i+1時，根據T的定義有cb=b2，因此有證畢 .

引理 4 對于 T 中的元素 a，b，c，若有……