一類三循環半群的研究

徐文鋒

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

逆半群作為群最臨近的推廣,在半群理論中具有非常重要的作用.循環半群和雙循環半群因其生成元簡單,結構優美,一直以來對它們的研究都非常活躍,得到了許多很好的結論.文獻［2-3］研究了雙循環半群的同余刻畫,文獻［4-5］研究了廣義雙循環半群，文獻［6］研究了一類特殊的三循環半群，文獻［8］研究了4-循環半群的一個子半群，文獻［7］研究了一類多循環半群.作為雙循環半群的推廣，本文研究了一類特殊的三循環半群.文中所用到的半群代數理論中的基本概念以及記號，如半群、循環半群、冪等元等，均與文獻[1]相同，本文將直接引用而不再一一定義.

三循環半群根據其三個生成元之間關系的不同而得到不同的結構.例如，在文獻［6］給出了三循環半群＜p，的結構，在文獻［7］研究了三循環半群的結構.本文所要研究的三循環半群定義如下本文討論三循環半群 T 的元素結構，其中 N表示全體自然數集合.

1 三循環半群的元素結構

定理1 三循環半群T中的每一個元素都可以唯一的表示為aibjck,其中i，j，k∈N.

在證明定理1之前，先來討論下面引理.

引理1 對于T中的元素a，b，c,有cia=abi,其中i∈N.

證 對i作數學歸納法.當i=0時有a=a,結論顯然成立.假設結論對i時成立，那么i+1時，根據T的定義有ca=ab，因此有ci+1a=cica=ciab=abib=abi+1.證畢.

引理3 對于T中的元素b，c，若有j≥1，則有cibj=bi+j,其中i∈N.

證 對i作數學歸納法.當i=0時有bj=bj,結論顯然成立.假設結論對i時成立，那么i+1時，根據T的定義有cb=b2，因此有證畢 .

引理 4 對于 T 中的元素 a，b，c，若有 j≥1，則有

由上述引理可證定理1.

2 三循環半群T的自然表示

雙循環半群除了它的定義表示以外，還可以由集合N到N的映射構成的半群來表示，以及由自然數集上的二元序對構成的集合表示.最后一種表示法也是最常用的一種方法，稱為雙循環半群的自然表示.

三循環半群T的自然表示可以通過分析三循環半群T的運算，在集合N×N×N中定義乘法，使之成為一個與半群T同構的半群.

在研究三循環半群T的自然表示時，因其乘法運算法則比雙循環半群乘法運算法則復雜許多，為了表述上方便，給出記號 N（x，y）定義為

定理2令N表示自然數集，在N×N×N上定義乘法。如下：

則（N×N×N，。）是一個半群，并且同構于三循環半群T.

證 對于T中任意兩個元aibjck和albsct,根據結合律以及上一節的結論，分情況討論如下：

（1）l=0.

設 Π：T→（N×N×N，。）使得 aibjck→（i，j，k）.根據以上計算，得到 Π 是同構映射.所以（N×N×N，。）是一個半群，并且同構于三循環半群T.

3 三循環半群T的冪等元

定理3 T的冪等元除1以外，都是具有形式aj+kbjck的元素,其中j，k∈N，j＞0.

整理得：

由上式得到i=j=k=0或者i=j+k,其中j，k∈N，j＞0.于是得到T的冪等元除1以外，都是具有形式aj+kbjck的元素,其中 j，k∈N，j＞0.

將T中的全體元素如下排列：

顯然地，該排列從左到右可以分成無窮多個方塊，其中第i個方塊的全部元素構成集合{aibjck，j，k∈N},i=0,1,2，···從行上看，該排列第 j行的全部元素構成{aibjck，j，k∈N},j=1,2，···三循環半群 T 的冪等元分布如下：第0 個方塊含有冪等元 1，第 i個方塊具有冪等元 aibi，aibi-1c，···，aibci-1,共有 i個，其中 i≥1.

［1］ohn M H.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford University Press,1995.

［2］周淑云.雙循環半群同余的刻畫[J].青海師專學報(教育科學版),2005,22(4):8-10.

［3］徐文鋒.雙循環半群上的同余結構[J].韶關學院學報(自然科學版)，2012,33(8):11-13.

［4］蔣啟芬,喻秉均.一類廣義雙循環半群[J].四川師范大學學報(自然科學版),1999,22(1):17-23.

［5］喻秉均,蔣啟芬.廣義雙循環半群和Jones半群[J].數學進展,2000,29(3):235-244.

［6］朱用文.一類三循環半群[J].煙臺大學學報(自然科學與工程),2006,19(3)166-169.

［7］江洪,田振際,王亞偉.一類多循環半群的研究[J].甘肅科學學報，2008，20(2):30-32.

［8］商宇,汪立民.關于4-循環半群的一個子半群-II[J].數學雜志,2013,33(6):983-988.