探究分類討論思想在初中數學教學中的運用

吳明東

摘 要：分類討論思想是現代各學科教學中一種重要的解決問題的方法和思路，也是現代科學研究處理復雜問題的有效途徑之一。因此，提高分類討論思想的引導，讓學生盡早掌握分類討論思想的運用技巧和優勢，對于培養高素質人才有著重要意義。

關鍵詞：分類討論 初中數學學習思想

一、常見分類思想運用領域

解數學問題往往可以有眾多的思想方法，如轉化化歸，數形結合，分類討論，數學建模等等，而在這些思想方法中分類討論是一種重要的數學思想。從數學概念、性質、定理以及公式的限制條件進行討論。

1.在初中的數學課程中，有許多數學概念是分類進行定義的。比如實數的絕對值是否大于本身，所以應用此類概念進行解題時，就需要進行分類討論。

2.同時，一些定理、公式等數學內容也有分情況予以表述的，或者有特定的適用范圍，比如二次曲線函數的最大值和最小值問題，在運用此類定理、公式解題時，一定要注意分類進行討論，讓學生領會定理、公式的適用范圍。

3.每個數學結論都有其成立的條件，每一種數學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由數學解題中的思考----分類討論思想的應用。

4.除此以外，學習數學的過程經常會遇到分類問題，如數的分類，圖形的分類，代數式的分類等等，在研究數學問題中常常需要通過分類討論解決問題，從滲透在教材中的分類思想出發，結合例題闡述了分類討論的思想，分類的原則，分類討論的應用，從而體現分類討論思想在初中數學解題中的作用和地位。

二、分類討論的原則

分類討論必須遵循一定的原則進行，在初中階段我們經常用到以下幾個原則

1.同一性原則

分類應該按照同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類依據，否則會出現重復的現象。例如有些同學認為實數可以分為正數、負數、整數、分數、和零。這樣的分類是錯誤的，犯了標準不同的錯誤。分類標準不統一，必定會導致分類結果的錯誤。

2.互斥性原則

分類后的每一個子類應該彼此獨立互不相容的，即不能出現有一項既屬于這一類又屬于那一類。例如學校舉行運動會，規定每個學生只能參加一項比賽，初一六班的6同學報名參加100和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這道題目分類就違背了互斥性原則。

3.完整性原則

分類后的每一個子類合并起來應該等于總類，否則會出現遺漏的現象。例如某人把實數分為正實數和負實數，這樣的分類是不完整的，因為零也是實數，但是零既不是正實數也不是負實數。

4.多層性原則

分類討論應該逐級有序的進行，分類后的子類還可以繼續再進一步分類，直到不能再分為止。例如實數可以分為有理數和無理數，有理數可以分為整數和分數，整數可以分為正整數，零和負整數。

三、分類討論的應用

我們用分類討論的思想解決問題的一般步驟是：

（1）先明確需討論的事物及討論事物的取值范圍

（2）正確選擇分類的標準，進行合理的分類

（3）逐類討論解決

（4）歸納并作出結論

下面淺談一下分類討論在初中階段的一些簡單的應用：

例如：試比較1+a與1-a的大小。

分析：常規的比較大小的方法有很多種，現階段最常用的是作差法。兩個數量的大小可以通過它們的差來判斷：

①a>b即a-b>0

②a=b即a-b=0

③a

解：作差（1+a）-（1-a）=2a

分類討論：

①當a>0時，2a>0，即（1+a）-（1-a）>0，即1+a>1-a

②當a=0時，2a=0，即（1+a）-（1-a）=0，即1+a=1-a

③當a<0時，2a<0，即（1+a）-（1-a）<0，即1+a<1-a

答：當a>0時，1+a>1-a；

當a=0時，1+a=1-a；

當a<0時，1+a<1-a。

例如：已知△ABC周長為20cm，AB=AC其中一邊邊長是另一邊邊長的2倍，BC長多少？

解：設AB=AC=x

①當AB=2BC時，BC=0.5x據題意，列x+x+0.5x=20，解得x=8cm，則BC=0.5x=4cm

②當BC=2AB時，BC=2x據題意，列x+x+2x=20，解得x=5cm則BC=2x=10cm

檢驗：當AB=2BC時，三邊長為8cm，8cm，4cm，可組成三角形；當BC=2AB時，三邊長為5cm，5cm，10cm，不可組成三角形，舍。

答：BC長為4cm

學生在解此類題的錯誤往往是因為不認真審題，沒有弄清已知條件中的各種可能情況而急于解題所造成，只有審清了題意，全面系統地考慮問題，才可以確定出各種可能情況，解答此類問題就不會造成漏解.分類討論思想在幾何題中有廣泛的應用，在有關點與線的位置關系，直線與直線的位置關系，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，等腰三角形等的題目中都需要進行分類討論。

例如：等腰三角形中，有一個角是另一個角的4倍，求等腰三角形的一個底角的度數？

分析：本題應該分為底角是頂角的4倍和頂角是底角的4倍兩種情況進行討論

解：（1）當一個底角的度數為x度，頂角是4x度時

依題意列方程x﹢x﹢4x=180解得x=30，底角等于30度

（2）當一個底角的度數為4x度，頂角是x度時

依題意列方程4x﹢4x﹢x=180解得x=20，底角等于80度，綜上所述，等腰三角形的底角為30度或者80度。

分類討論思想的應用非常廣泛，涉及到初中的全部知識點，這里不能一一列舉出來，分類討論思想的關鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標準，按可能出現的所有情況做出準確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結論綜合歸納，得出正確答案。數學中的分類思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類思想的訓練，有利于提高學生對學習數學興趣，培養學生思維的條理性，縝密性，科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。分類討論思想貫穿中學整個數學課程的始末，充分發揮分類討論思想的優勢，可以將復雜的問題大大簡化，不僅有助于提升學生的學習效率，還有助于培養的數學思維能力。