一道高考真題的一題多解

摘 要：圓錐曲線的離心率問題是高考中常考的問題，它往往涉及曲線的定義，或者有關性質，尤其是定義的應用比較多，本文的一題多解中就應用了雙曲線的幾種定義和相關性質。

關鍵詞：高考；解題；探究

點評：此解法簡單明了，是本題的最優解法，也許正是出題人所要考查的方法。

此題來源于人教A版教材第80頁《復習參考題A組》第10題：已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點C的軌跡。由此題我們可知，當m>0時，C的軌跡是不含AB兩點的雙曲線。我們將點A，B的坐標一般化為（-a，0），（a，0），將m變為b2a2，這就是我們所講的雙曲線的第三定義。此題中，直線MA，MB的斜率都是定值，直線MA，MB的斜率之積為常數，這樣a，b的關系就建立起來，離心率就求出了。

分析二：建系，將已知條件轉化為M點的坐標，帶入雙曲線的方程，可建立起a，b之間的關系，即可求出離心率。

【解法二】：（代入法：將M點的坐標帶入雙曲線方程）

點評：由于點M是自由點，如果選修了《極坐標與參數方程》的學生可能有選用此解法的。此解法的障礙在于消參方法的特殊性，由于直線斜率結構的特殊性，確定了消參的特殊性。

在漫長的教學過程中，還需要經常自我反思與總結，共同與時俱進是我們的職責。

作者簡介：唐澤虎，貴州省貴陽市觀山湖區第一高級中學。endprint