導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用芻議

摘 要：應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力是學(xué)習(xí)物理的一種基本能力，而在可以利用的數(shù)學(xué)知識中，導(dǎo)數(shù)無疑是最值得關(guān)注和重視的一個點。物理中求感應(yīng)電動勢，求瞬時速度、加速度以及求極值等都與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系密切，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的工具性和實用性。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；物理；應(yīng)用

一、 利用導(dǎo)數(shù)求感應(yīng)電動勢

例1 如圖所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上，每根導(dǎo)軌每米的電阻為r0=0.10Ω/m，導(dǎo)軌的端點P、Q用電阻可忽略的導(dǎo)線相連，兩導(dǎo)軌間的距離l=0.20m。有隨時間變化的勻強磁場垂直于桌面，已知磁感強度B與時間t的關(guān)系為B=kt，比例系數(shù)k=0.020T/s。一電阻不計的金屬桿可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導(dǎo)軌垂直。在t=0時刻，金屬桿緊靠在P、Q端，在外力作用下，桿以恒定的加速度從靜止開始向?qū)к壍牧硪欢嘶瑒樱笤趖=6.0s時金屬桿所受的安培力。

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和導(dǎo)數(shù)的定義可知，磁通量對時間的導(dǎo)數(shù)就是感應(yīng)電動勢，所以回路中的感應(yīng)電動勢為

二、 利用導(dǎo)數(shù)求瞬時速度、加速度

我們知道，瞬時速度就是位移s對時間t的導(dǎo)數(shù)。一般的問題，沒有必要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求瞬時速度，但復(fù)雜一點的問題，寫出位移的函數(shù)式后再求導(dǎo)來求得瞬時速度，會非常方便簡捷。

例2 一質(zhì)點做直線運動，位移與時間的關(guān)系為x=15t+t3（m），求當(dāng)t=2s時的速度、加速度。

形如x=v0t+12t2位移與時間關(guān)系是一元二次方程的，用待定系數(shù)法就能確定質(zhì)點的速度、加速度，但是對于位移與時間的關(guān)系是三次方的就無法用待定系數(shù)法了，我們用導(dǎo)數(shù)很方便地就解決了。

例3 一質(zhì)點簡諧運動的圖像如圖所示，判斷質(zhì)點在0.7s、1.0s、2.0s、2.2s四個時刻的運動方向。

解析：

我們知道，圖像上某點的導(dǎo)數(shù)即瞬時速度表示圖像在該點的切線的斜率。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，畫出各時刻對應(yīng)的圖像上各點的切線，斜率為正則速度方向沿+x，反之為-x，斜率為零則無運動方向。

若根據(jù)圖像確定質(zhì)點在該時刻之后的一小段時間內(nèi)位移的變化（位移的方向、增減），然后確定質(zhì)點的運動方向。質(zhì)點在1.0s時刻，學(xué)生根據(jù)位移的變化判斷速度方向可能為-x。事實上，質(zhì)點在該時刻瞬時速度為零，是沒有方向的。這樣判斷結(jié)果與事實不符。

運用導(dǎo)數(shù)的意義判斷速度方向既方便又避免圖像拐點處出現(xiàn)錯誤，我們要充分利用數(shù)學(xué)工具解決物理問題，它會使我們解決問題既準確又高效。

三、 利用導(dǎo)數(shù)求極值

如果在某一區(qū)間內(nèi)只有一個極值，則該極值即為最值。

例4 如圖所示電路中，電阻R為可變電阻，電源的電動勢為ε，內(nèi)電阻為r，求R為多大時，電源的輸出功率最大？最大值是多少？

例5 一輛小車在MN軌道上行駛的速度為v1可達50km/h，在軌道外的平地上行駛速度v2可達40km/h，與軌道的垂直距離為30km的B處有一基地，如圖所示，問小車從基地B出發(fā)到離D點100km的A處的過程中最短需要多少時間（設(shè)小車在不同路面上的運動都是勻速運動，啟動時的加速時間可忽略不計）？

解析：如圖所示，設(shè)DF段的距離為x，則小車走完全程所用時間可表示為

利用導(dǎo)數(shù)求極值，首先根據(jù)物理知識寫出表達式，然后令其導(dǎo)數(shù)等于零，該問題便可迎刃而解。

參考文獻：

[1]唐復(fù)求.導(dǎo)數(shù)在高中物理中的應(yīng)用[J].中學(xué)教學(xué)參考，2012，（17）：71.

[2]張同權(quán).導(dǎo)數(shù)在高中物理解題中的應(yīng)用[J].物理教學(xué)探討，2004，（10）：58-59.

作者簡介：孫晨陽，山東省東營市，山東省廣饒縣第一中學(xué)。endprint