數與線的“愛戀”之美

董文彬

數是用來計數、標記或度量、比較同質事物的抽象概念，也是數學中最基本的概念之一。可以說，數概念的學習伴隨著學生數學學習的整個過程，是在不斷形成和發展著的。學生數概念的形成與發展在各個學段各有側重，總體應注重的是學習興趣和學習能力的培養，從而讓數概念和核心素養自然生長。

本期，我們探討學生數概念的形成與發展過程。

為幫助學生深入認識數概念的核心本質，教師在教學中應特別注重直觀模型的使用，其中數線是幫助學生深度理解數概念的直觀載體。下面，筆者以北師大版小學數學教材為例，探析數線在兒童數概念的形成與發展中的直觀體現。

一、研究的緣起——聚焦數線

在小學階段數概念的形成與發展中，很多直觀模型對數的認識、數的運算的理解起到了至關重要的作用。比如對整數及整數運算而言，究竟有哪些直觀模型呢？循著教材的編寫線索梳理，主要有以下幾種：小棒、計數器、小方塊、點子圖、方格紙、數線等（如圖1）。

可以說，以上這些實物、模型等直觀材料因其自身的特點，在兒童整數及整數運算的學習中都發揮了不可或缺的作用。數的運算是對數意義的進一步認識，這些直觀模型在學習過程中的介入有力地支撐著兒童數概念的形成與發展。而在這些直觀模型中，有的卻因其自身所具備的獨特天然屬性，直觀作用與價值不同于其他模型而獨樹一幟——它就是數線（數軸）。弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》中指出：“與其他直觀材料相比，數軸是確定的、可長久使用的，它不像有些材料只用一會兒就被放棄。”可見，數線因其自身的結構特性，突破和克服了其他直觀材料的缺點而被人們廣泛使用。

既然數線能夠在眾多的直觀模型中脫穎而出，我們就有必要對數線本身所具有的優越屬性、直觀作用以及數線與數和運算之間相生相伴的天然聯系進行剖析和研究。

二、數線在整數運算中的直觀體現

（一）數線與加減

在數概念的形成與發展中，為什么數線具有如此強大的魅力呢？筆者認為，這與數線模型本身所具有的屬性、結構和功能密切相關。

1.從呈現形式上看

伴隨著數與運算的學習，數線在學生的認知系統中經歷了由實物到數尺、再到數線的形成與發展，這個過程是循序漸進的，不是一蹴而就的。從外化的呈現形式來看，在實物原形中表現為數與實物一一對應，在數尺中表現為數與方格一一對應，在數線中表現為數與點一一對應。在此過程中，數線的功能也由實物直觀走向了幾何直觀，從離散走向了連續，而這正是基于數的運算的發展與數的擴充的需要，是數概念形成與發展的內在需求。

2.從數量級上看

借助數線并沿著數線往右，以“一”為單位1個1個地跳（數），或者以“十”為單位10個10個地跳（數），以“百”為單位100個100個地跳（數）……這樣隨著不斷地以計數單位累加的過程，就會產生更大的新的計數單位。在度量單位的不斷累加運算中，也方便和滿足了數量級擴展后大數加減法的開展。可見從數量級上看，數線在數的運算發展過程中，表現出一種自身天然的靈活性。

3.從數線的結構上看

從數線的結構來看，首先有一條向右的直線，規定了方向，其次規定了起點定為0，最后是單位長度，而這里的單位是靈活的，可以是任何一個自由的正數。具體而言，起點0——是計數的開始，單位長度——滿足了累加的度量需求，方向——滿足數的排列與可比性。從數線的數學性角度來審視，數線像一把用來量數的“尺子”，滿足了數概念形成與發展的需要。

4.兩個加減法的例子

我們來看一個一位數加法的例子“8+6”。

在這條簡單的數線（數尺）上，數與格（點）一一對應，往右表示累加，得到“8+6”結果的操作就是基于這種“一一對應”，數出計數單位的過程，從8開始，以“1”為單位，連續累加6次，就得到“14”這個結果。這個運算的過程就是計數單位累加的過程。

運算“8+6”，還可以如上，10格為1檔，從8開始，以“1”為單位，先累加2次到“10”，遇“10”停頓，再累加4次，孕伏“滿十進一”，產生新的計數單位“十”。

我們再來聚焦一個減法的例子“239-118”。

在這條數線上，往左表示“遞減”，從239開始，先以“百”為單位遞減1次（減一個百），再以“十”為單位遞減1次（減一個十），再以“一”為單位遞減8（減一個8），即得到“239-118”的結果（度量值）“121”。在這個減法運算的過程中，借助數線先減幾個百、再減幾個十、幾個一，數線的直觀介入為學生分清數位、理解減法豎式算法打下基礎，同時從數位的角度幫助學生直觀理解數的內部結構，進而理解數概念及運算的意義。

（二）數線與乘除

針對數線與乘除，筆者嘗試對教材中數線的使用情況進行了梳理。

1.兩個乘除法的例子

我們先來看一個一位數乘法的例子。

這是乘法中“幾個幾”意義的運算內容。結合數尺模型與算式表征，解決“小青蛙一共跳了多少格”就是求“4個3是多少”。其中的4表示跳了幾次，3表示每次跳幾格，可以看作是以“3”為單位，度量了4次的結果，其本質上都是對計數單位的累加（累積），即對度量單位的運作。

我們再來看一個除法的例子。

這是除法中“包含除”意義的運算內容。解決“20元可以買幾輛玩具車”就是求“20里面有幾個5”。其運算的過程，即在數線上以20作為起點， 按照一定的“步伐”回到原點的過程。這個過程可看作以“5”為單位去度量數“20”，正好數了4次，把20度量完的過程。說到底，其本質還是對度量單位的運作。

不難看出，數線的介入和使用，能夠幫助學生從計數單位累加或遞減的角度去直觀地理解乘除運算的意義。

2.兩個問題

在梳理教材“數線與乘除”這部分內容的過程中，我們也發現了兩個問題。endprint

問題1：為何數線唯獨缺席了除法“平均分”的教學？

梳理中發現，在運算意義的認識中，數線出現在乘法“幾個幾”“倍”和除法“包含除”“倍”的教學中，卻唯獨沒有在除法“平均分”的學習中出現，那么是何原因導致數線缺席了除法“平均分”的教學？

我們以一個簡單的例子試作分析。

比如8÷2=？從把8平均分成2份的角度來理解，我們來看數線：

不難發現，“8”在數線上表現為一個“點”，它所在位置決定了它到起點0的距離——即它是多少個“1”累加的結果。也就是說，在數線上可以靜態地表示“8”這段距離，卻不利于直觀表示每份是幾。可見，除法“平均分”因其內容自身的數學性而拒絕了數線的介入。

問題2：為什么數線在乘除運算中會逐漸隱退而被其他模型取而代之？

從前面的梳理中再進一步看，除了在表內乘法、末尾帶0的口算、兩位數與兩位數乘法這幾類乘法運算中我們還能看到數線的使用外，在相關的除法運算中，已經看不到數線的影子。比如表內除法，教材中不再用，學生在學習中還在使用，到帶0的除法口算，連學生也不再用了。數線逐漸在乘除法運算中隱退，取而代之的是點子圖、表格、面積模型等。這一現象表明，數線在擁有自身優越的屬性和功能外，還存在著一定的局限性，這些自身的局限導致在后續的運算中被其他直觀模型取而代之。

三、如何客觀理性地看待數線

1.數線與數的認識相諧相生，相存相伴

從以上教材的梳理不難發現，數線模型與數的認識一路相生相伴。具體來說，從一（上）到四（上），20以內數的認識、100以內數的認識、萬以內數的認識、億以內數的認識等知識點的學習，借助數線向右逐漸拓展數量級；從三（上）到五（上），小數的初步認識、分數的初步認識、小數的意義、分數的意義，借助數線由宏觀領域向微觀層面擴充數；四（下）生活中的負數，借助數線向左繼續擴充數域。可見，數線與數概念的建構與形成、數系統的不斷擴充相諧相生，相存相伴。

2.數線使整數運算由抽象變得直觀

其一，加、減、乘、除運算可以在數線上動態呈現——跳，通過度量單位的動態的“跳”，直觀理解計數單位的累加或遞減，進而理解運算的意義；其二，運算意義在數線上還可通過方向來體現，而且便于理解加與乘、減與除的內在關系與核心本質。其三，數線為學生整數運算的學習提供了一個理解算理、獲得算法的直觀工具。

3.數線不是萬能的，離開數線卻是萬萬不能的

如前所述，弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》中指出了數線自身被廣泛和長久使用的優越性。但他同時也指出：“但是要注意一種危險的傾向，那就是有人對數軸寄予的希望過大，走得過遠。”這說明，數線自身也存在著一定的局限性，比如數線與位值無關，無法直觀呈現數位和計數單位。換句話說，數線不是萬能的，離開數線卻是萬萬不能的。

我們對數線要熟知其優勢與局限，了解其屬性與功能，客觀理性地看待數線，方可對其進行合理開發與利用，這樣才能發揮它的巨大功用和潛能，以在學生數概念的形成與發展中發揮更大的價值，把更多深度理解數學的可能性還給學生。

（作者單位：北京市中關村第一小學）endprint