巧用偏導數求解不定方程

顧玲鳳??

摘要：從古時候開始，在數論中，不定方程就是一個古老而普及的分支。早在3世紀，丟番圖就開始研究不定方程，后來人們為了紀念丟番圖，常常將不定方程稱之為丟番圖方程。不定方程是數論中相當重要的組成部分，定義為方程中的未知數的個數多于方程的個數。針對不定方程的特點，本文指出兩種求解不定方程的方法，通過分別比較和驗證，得出使用偏導數求解的方法更優于使用根判別式求解不定方程，更加準確可靠。

關鍵詞：不定方程；根判別式；偏導數

一、 不定方程

不定方程，指的是方程的個數少于未知數的個數，并且未知數受到某些限制（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。不定方程是指解的范圍為整數、正整數、有理數或代數整數的方程或方程組，其未知數的個數通常多于方程的個數。

1969年，L. J. Mordel的專著《丟番圖方程》，對前人有關不定方程的研究進行了較為全面的回顧，并且更加系統化地總結了這方面的研究成果。由于該領域涉及到各行各業的發展，因此近十多年來，這方面的研究受到眾多數學愛好者與專家學者的高度關注，使得該領域獲得了飛速的發展。雖然如此，但是從整體來考慮還是存在部分需要加強的地方，比如說對于高于二次的多元不定方程（組），人們其實知道得不多。另一方面，不定方程與數學很多領域都有緊密的聯系，例如組合數學、微分幾何等，在有限群論和最優設計中也常常提出不定方程的問題，這就使得不定方程這一古老的分支仍然并將繼續吸引著許多數學家的注意，成為數論中重要的研究課題之一。常見的不定方程分為線性不定方程（組）和高次不定方程（組）。其中，最普及的為二元一次不定方程。在此以二元一次不定方程為例來舉例講述這個方面。

ax+by=c（1）

式（1）中a，b，c是給定的整數，且ab≠0。（1）有整數解的充要條件是a、b的最大公約數能夠整除n。因此假設x1、y1為該方程的一組整數解，那么該方程的所有整數解可以表示為x=x1+a（a，b）*t，y=y1-a（a，b）*t。其中t為任意整數。

二、 偏導數

一個n元函數z=f（x1，x2，…，xn）對它的某個變元xk作為唯一自變量（固定其余變元）而言的變化率（導數），稱為該函數關于變元xk的偏導數。給定一個二元函數z=f（x，y）。若函數z=f（x，y）在（x0，y0）的兩個偏導數fx（x0，y0）與fy（x0，y0）都存在時，稱f（x，y）在（x0，y0）處可導。如果函數f（x，y））在函數域D的每一點均可導，那么稱函數f（x，y）在域D可導。

偏導數的記號有很多種，如：f′x，fx，fx，dfdx等。例如二元函數

z=f（x，y）=x2+y2+xy（2）

那么有：

zx=2x+y，zy=2y+x，zx（1，1）=3，zy（1，1）=3。函數z=f（x，y）的圖像如下：

一般的，一個多元函數的所有一階偏導數構成的向量稱為函數的梯度，即

SymbolQC@ f（a1，a2，…，an）=（f1（a），f2（a），…，fn（a））T，其中fi（a）=fxi（a1，a2，…，an）對所有i=1，2，…，n。

梯度函數反映了多元函數函數值隨著自變量變化的快慢。例如，利用梯度函數為零的條件，我們可以求出二元函數值下降最快的方向，稱為最速下降速度。在這里我們只學習函數f（x，y）沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時，f（x，y）的變化率。

一個n元函數在各個偏導數存在的情況下，可以通過以下形式來表示：

fxk（a1，…，ak-1，ak，ak+1，…，an）=limh->0f（a1，…，ak+h…，an）-f（a1，…，ak…，an）h

它可以表述為函數值關于第k個變量的單位變化率。如果此極限存在，則稱此極限為該函數函數在點（x0，y0）處對x的偏導數。

三、 不定方程樣例求解思路分析比較

在同一個樣例的基礎上，通過采用兩種方法進行比較驗證，從而更加有針對性。

1. 不定方程樣例

樣例：若實數y，x滿足y=4y-x+2x，則y的最大值是多少。

2. 使用根判別式求解

不定方程最常用的方法就是根判別式方法求解，通過兩邊平方進行函數的化簡，從而簡化成類似于二元一次方程的類型，再通過根判別式的公式求解函數的根，接著通過x，y的限制條件，從而得到最終想要的y的極值。這種方法是最常用且普遍的慣性思維，接下來我們就以給出的樣例進行分析、推導。

（1） 樣例分析

由于函數隱含的兩個條件分別為y？=14x且x？=0；而為了求得y的最大值，這兩個條件是遠遠不夠的，頂多給出的條件只能嘗試著求y的最小值，而跟最大值是沒有任何關系的。繼續分析函數本身，通過嘗試著進行兩邊同時開方進行函數化簡，再用根判別式進行求導歸納。具體解題過程見下一步。

（2） 解題過程

解：經過上述分析，由原式得到：y-2x=4y-x

兩邊同時平方可以得到：y2-4x+1*y+5x=0

將x看成是常數，這樣的方程就可以看成是一元二次函數，這樣可以通過求根公式得到不同情況下的x值的大小。

當？=0時，x=36±165，此事求出的y值是兩個固定的值

當？>0時，由于x>0，所以x范圍為0

當？<0時，方程沒有實數根

通過以上驗證，只能求出x在不同情況下的取值范圍，然而卻不能算出y的最大值。因此得出根判別式求解方式在此不定方程中是不適用的、不具有普遍性。

3. 使用偏導數求解

考慮到通過根判別式方法求解不定方程的局限性，本文采用了一種比較新穎的偏導數求解算法來解決不規則曲面函數不定方程的問題。

（1） 樣例分析

以二元函數z=f（x，y）為例，如果只有自變量x變化，而自變量y看成是常量，則為x的一元函數，這樣的函數稱為偏導數，從而簡化問題的復雜度，更適合這種不規則的不定方程求解。

（2） 解題過程

解：令Fy，x=y-4y-x-2x=0，這里假定y是x的函數

求偏導分別得出：Fx=--124y-x-1x

Fy=1-424y-x

通過使用隱函數存在定理2，可將公式化簡為：

y′=-FxFy=x-24y-x24y-x-4*x

令y′=0可以得到x=24y-x公式化簡得到y=516*x，并將該公式定義為公式（1）

即當y=516*x時取最大值，將公式（1）帶入原方程可得：

516*x=4*516*x-x+2x

算出x=64，將x值帶入公式（1）得出

y=20

四、 總結歸納

根判別式求解不定方程會隨著不定方程的復雜程度而出現結果上的偏差，相對于根判別式，使用偏導數求解不定方程則效果顯著，更具有普遍性和通用性。

作者簡介：

顧玲鳳，江蘇省蘇州市吳中區城西中學。