微元法在解決幾何和物理問題中的應用

方國敏+謝蔚

摘要：微元法是定積分中實用性很強的數學方法，許多幾何、物理問題都可以通過微元法來解決。

關鍵詞：微元法；面積；體積；曲線弧長；變力做功

定積分在解決實際問題中有著廣泛的應用，許多幾何、物理以及經濟學問題中的量都可以用定積分來描述和計算。

一、 微元法在幾何上的應用

1. 求平面圖形的面積

用微元法求平面圖形面積的步驟：

第一步：根據實際問題選取積分變量x或y，并確定其取值范圍x∈[a，b]或y∈[c，d]；

第二步：取子區間[x，x+dx]（或[y，y+dy]），作矩形并用x（或y）處的高f（x）（或φ（y））作為矩形的高，使其面積為f（x）dx（或φ（y）dy）代替小曲邊梯形的面積，面積的微元表達式ds=f（x）dx（或ds=φ（y）dy）；

第三步：在整個區間上取定積分，得平面圖形的面積S=∫baf（x）dx（或S=∫dcφ（y）dy）。

例1求拋物線y=2-x2和y=x2所圍成平面圖形的面積。

解：解由方程y=2-x2和y=x2組成的方程組得交點A（-1，1），B（1，1），

選取積分變量x∈[-1，1]，則面積的微元表達式為：dS=（2-2x2）dx，

取定積分即可得平面圖形面積S=∫1-1（2-2x2）dx=4∫10（1-x2）dx=4[x-x23]10=83。

2. 求旋轉體的體積

用微元法求旋轉體體積的步驟：

第一步：根據問題選取積分變量x或y，并求出取值范圍x∈[a，b]或y∈[c，d]；

第二步：取子區間[x，x+dx]（或[y，y+dy]），在子區間上小旋轉體的體積可用以f（x）為半徑，dx為高（或以φ（y）為半徑，dy為高）的小圓柱的體積近似代替，而小圓柱的體積為dV=πf2（x）dx（或dV=πφ2（y）dy）；

第三步：在整個區間上取定積分，得旋轉體的體積V=π∫baf（x）dx（或V=π∫dcφ（y）dy）。

例2求由拋物線y=x2與直線拋物線x=3及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積。

解：解由方程y=x2及x=3和y=0組成的方程組得交點（3，9），

選取積分變量x∈[0，3]，可得旋轉體體積的微元表達式為dV=πx4dx，

在整個區間上取定積分，得旋轉體的體積V=π∫30x4dx=[π15x5]30=2435π。

3. 求平面曲線的弧長

設曲線由直角坐標方程y=f（x）（a≤x≤b）表示，f（x）在[a，b]上具有一階導數，計算該曲線的弧長。

取x為積分變量，x∈[a，b]，曲線y=f（x）相應于[a，b]上任一小區間[x，x+dx]的一段弧的長度，可以用該曲線在（x，f（x））處的切線上相應的一小段長度來近似代替，而切線上這一小段的長度為ds=（dx）2+（dy）2=1+y′2dx，在閉區間[a，b]上取定積分，可得曲線的弧長為s=∫ba1+y′2dx。

例3計算y=x2在[0，2]上的長度。

解：因為y′=2x，故弧長為s=∫ba1+y′2dx=∫201+（2x）2dx=17+ln（4+17）4。

二、 微元法在物理上的應用

1. 變力做功

設物體在力F=f（x）的作用下沿直線運動，力的方向與物體運動方向一致，求物體從A點到B點時力F對其所做的功。

選取x為積分變量，且x∈[a，b]，在任一小區間[x，x+dx]上，變力F所做功的總量的微元為dW=Fdx=f（x）dx，所以，變力F所做的功W=∫baf（x）dx。

例4現有一個圓臺形容器，高為5米，上底圓半徑為3米，下底圓半徑為2米，試問將容器內盛滿的水全部吸出需要做多少功？

解：建立如圖所示的直角坐標系，選取水的深度y為積分變量，且y∈[0，5]。設將[0，5]中相應于任意子區間[y，y+dy]上這層水提取出容器外所做的功為ΔW。因為直線AB的方程為y=-5（x-3），所以該層水的質量為ρ·πx2dy=πρ（3-y5）2dy，其中ρ為水的密度，ρ=1000 kg/m3。該層水提出容器外的位移為y，于是將它吸出容器外需要做功的近似值，即功的微元為dW=1000π（3-y5）2ydy。

因此，W=∫501000π（3-y5）2ydy≈2116.8（kJ）

2. 引力

在物理學中，質量為m1和m2，相距為r的兩質點間的引力為F=km1m2r2（k為常數）。

例5設有一均勻的細桿，長為l，質量為M，另有一質量為m的質點位于細桿所在的直線上，且到桿的近端距離為a，求桿與質點之間的引力。

解：建立直角坐標系，選取積分變量x∈[0，l]，在[0，l]中任取的子區間[x，x+dx]上細桿的相應小段的質量為Mldx。該小段與質點距離近似為x+a，則該小段與質點的引力近似值，即引力F的微元為dF=km·Mldx（x+a）2。

所以，細桿與質點之間的引力為F=kmMl∫l0dx（x+a）2=kmMa（a+l）。

參考文獻：

[1]李玉萍，張金諾.例談定積分的應用[J].教育信息，2016，（6）：116-117.

[2]邢健，徐立新.定積分的應用舉例[J].考試周刊，2015，（44）：56.

作者簡介：

方國敏，謝蔚，云南省曲靖醫學高等專科學校。endprint