一種基于CMA的變步長盲均衡算法研究

李茹+張濤+朱秋煜

摘 要： 通信過程中因信道畸變而產生的碼間干擾（ISI）嚴重影響通信質量，該問題常采用均衡技術來解決。介紹了傳統定步長盲均衡CMA算法原理，仿真分析了其不能兼顧收斂速度快與穩態誤差小的問題，為解決這一問題，提出一種基于Sigmoid函數的變步長盲均衡算法。為解決碼間串擾問題，對CMA算法進行改進并對改進算法原理進行闡述，分析了參數對算法性能的影響。最后通過仿真實驗證實了改進算法能夠加快收斂速度，同時能保持較小的穩態誤差。

關鍵詞： 均衡技術； 恒模算法； 碼間干擾； Sigmoid函數； 收斂速度； 穩態誤差

中圖分類號： TN911.5?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）03?0010?04

Abstract： The inter?symbol interference generated by channel distortion in communication process affects the communication quality seriously， and is solved with equalization technology. The principle of traditional fixed step blind equalization constant modulus algorithm （CMA） is introduced. The problem that the fast convergence rate and small steady?state error can′t be both balanced is analyzed with simulation. To solve this problem， a variable step blind equalization algorithm based on Sigmoid function is proposed. The CMA is improved to eliminate the inter?symbol interference， and principle of its improved algorithm is elaborated. The effect of the parameters in the algorithm on the algorithm performance is analyzed. The results of simulation experiments show that the algorithm can maintain a small steady?state error while accelerating the convergence speed.

Keywords： equalization technology； constant modulus algorithm； inter?symbol interference； Sigmoid function； convergence rate； steady?state error

0 引 言

通信信號在傳輸過程中常會受到因信道畸變而產生碼間干擾（Inter?Symbol Interference，ISI）的問題，這嚴重影響了通信質量，降低了通信的可靠性與穩定性。均衡算法作為解決該問題的一種有效方式，在經濟、軍事等諸多領域有廣泛的應用前景。其核心算法主要分為最小均方誤差、遞歸最小二乘和盲均衡算法三大類。其中由Godard等人提出的CMA盲均衡算法[1]計算量小，不占用頻譜資源，廣泛應用于雷達、聲吶、通信等領域。

但CMA算法只在收斂速度和收斂精度方面做折中處理，這大大制約了算法的性能，因此，針對固定步長CMA算法的缺陷提出了一系列變步長改進算法。 文獻[2]提出基于瑞利分布的盲均衡算法，利用非線性函數控制步長的思想；文獻[3]將CMA算法與判決反饋算法相結合，用以提高收斂速度與減小穩態誤差；文獻[4]揭示了CMA算法的收斂速度與均衡器輸出功率特性的關系，通過在均衡器后加入增益調節過程來控制均衡器的輸出功率特性；文獻[5]指出用剩余誤差MSE作為控制步長的變量控制步長的變化，提出直接用MSE控制變化。雖然開始時收斂速度快，但隨著誤差的減小，步長同時很快變小，有可能算法未完全收斂時步長已經很小，導致算法整體收斂速度沒有提高。這些算法都遵循以下原則：在算法初始階段，取較大步長值，以得到較快的收斂速度和自動跟蹤能力；在算法接近收斂時，取較小步長值，以取得較小的穩態誤差。

本文基于上述改進原理，在CMA算法的基礎上進行改進，提出一種基于Sigmoid函數的變步長CMA算法。

1 CMA盲均衡算法原理

CMA算法采用最陡梯度下降法來迭代均衡器的抽頭系數，逐步尋找代價函數的最小值點，當代價函數達到最小時，均衡器的權值就穩定在最優解附近。CMA非線性無記憶函數的表達式為：

以為步長，控制算法的收斂速度和穩態誤差的參量，為保證算法收斂，步長取值范圍[6]為。

均衡算法性能的優劣主要看收斂速度與穩態誤差兩個指標，最優的算法性能要求收斂速度快、穩態誤差小。根據式（1）～式（5）對CMA算法進行仿真，測試步長對算法收斂速度與穩態誤差的影響。

仿真實驗中步長取0.01，0.004，0.000 3，仿真結果如圖1所示，其中橫坐標表示迭代次數，縱坐標表示誤差。由仿真結果來看，隨著步長取值的增大，收斂速度變得越來越快，但穩態誤差越來越小，所以收斂速度與穩態誤差相互制約，降低了CMA算法的性能。為提高算法性能，加快收斂速度的同時，減小穩態誤差，在CMA算法基礎上進行改進，提出一種基于Sigmoid函數的變步長CMA算法。endprint

2 基于Sigmoid函數的盲均衡算法分析

改進算法以Sigmoid函數[7]為基礎，變換得到一個步長與誤差的非線性函數關系：

圖2為變換后的步長?誤差曲線圖。

圖像在軸正半軸，隨著誤差的增大，圖像斜率先變大后減小，這種變化規律使得在誤差大時，步長值維持在一個較大值；隨著誤差的逐步減小，步長值也逐漸減小為零，這與變步長的設計原則相符。

因此，為得到性能更優且可控的步長調整函數[2，8]，引入參數和對式（6）進行如下調整：

當時，前面提到，要使算法收斂，需滿足因此的取值范圍為小于1的正數。

下面再深入討論這幾個參數對步長調整函數性能的影響。

圖3為由外向內，依次取0.05，0.1，0.3，0.6，0.8，1.5，2，其他參數取1時，步長與誤差函數的曲線圖。

由圖3可以看出，各曲線均滿足步長調整原則，在誤差取5時，圖中多數曲線均接近最大步長值，說明此時收斂速度非常快，有利于朝著誤差減小的方向變化；在誤差逐漸減小至零的過程中，步長值也逐漸變化為零。但是由于穩態誤差也與步長有關，在系統接近收斂即誤差接近零的過程中，快速變化的步長可能使系統穩態失調產生較大震蕩，造成穩態誤差很大。因此，為保證算法性能，要求系統收斂時，步長值應緩慢減小為零[7]。

圖3中當取值在[0.05，0.3）范圍內，在誤差為5時（此時誤差已經非常大了），步長才維持在最大值附近，如果采用該范圍的值，算法在誤差非常大時就已經開始執行，這樣會導致計算量增大，使系統處理時間變長；當取值在[0.6，2]范圍內，誤差在2附近已達到步長最大值，該范圍內在圖3中可以看出誤差接近零時（系統收斂），步長變化劇烈，前文提到該種情況下會造成系統穩態失調，穩態誤差較大。

根據以上分析，本文參數選擇最佳取值范圍為[0.3，0.6]，該范圍內參數可以使誤差較大時步長曲線具有更快的收斂速度，而在誤差接近零（系統開始收斂）時變化平緩。

圖4為參數取0.5，0.8，0.99時步長與誤差的關系圖。

從圖4可以看出，各曲線均滿足步長調整原則，且誤差為零附近變化緩慢，圖中取值主要影響圖形幅度即步長變化。由式（8）可知，的取值影響的值，取值范圍為小于1的正數，因此取值范圍也是小于1的正數，由圖4中可以看出，誤差為6時，取[0.5，0.8]范圍內步長變化不明顯，但取[0.8，0.99]范圍內步長差距顯著，取0.99相同誤差下，步長值太小造成收斂速度慢，因此最佳取[0.5，0.8]范圍內。

綜上所述，控制函數的形狀，決定步長變化的速度，控制步長函數的幅度。基于上述分析，為驗證改進后算法的性能，本文進行了仿真，對改進前后的算法性能進行比較。

3 算法仿真與結果分析

為驗證改進算法的性能，對基于Sigmoid函數的CMA盲均衡算法和CMA算法的收斂速度、穩態誤差進行Matlab仿真。仿真環境的發射信號、信道模型、均衡器參數設置如下：發送符號數10 000，采用4QAM調制、信噪比為20 dB，信道采用無線數字通信信道[9]，為更好地觀察收斂效果，迭代次數設為1 000次。其中CMA算法中步長=0.001。改進算法=0.3，仿真結果如圖5所示。

分析圖5可知，改進后的新算法約50次左右迭代已經開始收斂，而傳統CMA算法需經大概150次迭代開始收斂，約在400次趨于穩定，對比兩種算法收斂后的穩態誤差值，改進算法穩態誤差值接近于0.07；而CMA算法穩態誤差值約為0.5，對比可知改進后的算法有效克服了CMA算法不能兼顧收斂速度快與穩態誤差小的問題，性能更佳。

為更直觀地觀察迭代過程中步長的變化，本文中同時仿真了步長隨迭代次數變化的曲線圖，如圖6所示。

觀察圖6可知，在算法初期步長值比較大，變化迅速，說明此時收斂速度非常快地朝著誤差減小的方向變化，隨著算法收斂，步長逐漸變小且變化緩慢，說明此時算法趨于穩定，因此改進方法符合變步長的設計原則。

基于上述分析及比較可以清楚地看出，改進后的算法收斂速度明顯比CMA算法快，穩態誤差小且穩定，性能優于CMA算法。

4 結 語

本文分析了固定步長CMA算法收斂速度與穩態誤差存在矛盾的問題。提出一種改進方法，對改進算法進行分析與仿真，仿真結果表明，改進算法能夠很好地解決收斂速度與穩態誤差存在矛盾的問題，改善了原算法的性能。均衡技術用于解決碼間串擾問題有良好的應用前景，可應用于無線通信、光通信[10?12]、雷達、聲吶等眾多領域中。

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