五招教你快解數學選擇題

陳程　屈昕

選擇題作為一種標準化試題，在中考中占有相當的比重，除了常見的排除法、驗證法、代入法之外，本文總結了另外幾種解法供同學們參考，力求讓同學們能夠正確認識、辨析選擇題，并提高解決問題的能力。

一、數形結合法

有些選擇題，進行計算、推理和判斷比較復雜，條件和結論似是而非，但能畫出圖形和圖象來描述，可以借助圖形、圖象進行直觀判斷，或結合題意和圖象、圖形進行簡單的計算和推理，找出正確答案。這種方法的優點是形象直觀，易于把復雜的計算、推理和判斷簡單化，缺點是把問題圖形和圖象化，需要同學們有很強的數學基礎知識和空間想象能力。

例1 已知二次函數y=ax2+bx+c（其中a>0，b>0，c<0），關于這個二次函數的圖象有如下說法：

①圖象的開口一定向上；

②圖象的頂點一定在第四象限；

③圖象與x軸的交點至少有一個在y軸的右側。

以上說法正確的個數為（ ）。

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：此題較抽象，可先畫符合條件的圖象：據a>0可知圖象開口向上，據-[b2a]<0，可知對稱軸在y軸左側，再有c<0，可知圖象與y軸交點的位置在y軸負半軸，據此，畫出符合要求的二次函數圖象（圖略），結合圖象可知，該二次函數圖象開口向上，頂點在第三象限，與x軸有兩個交點，一個在x軸正半軸，一個在x軸負半軸，故本題答案為C。

二、特例法

利用符合題設條件的某個特殊圖形代替有關的一般圖形，進行演繹推理，以達到判斷各個選項正確或錯誤的目的，這種解答選擇題的方法稱為特例法。特例法的關鍵在于尋找特例，即尋找的特殊圖形既要符合題設的要求，還要有利于對問題的分析和解決。其優點是利用簡單、特殊的圖形，減少了繁雜的計算和推理；缺點是易把題目“特殊”成不合題目要求的圖形，從而得出錯誤的結論。

例2 如圖1，等腰直角△ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點A在直線y=x上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB，AC分別平行于x軸，y軸，若雙曲線y=[kx]（k≠0）與△ABC有交點，則k的取值范圍是（ ）

A.1

解析：根據題目條件可求出△ABC各頂點的坐標：A（1，1），B（3，1），C（1，3），本題若用直接法求k的取值范圍，要分雙曲線與邊AB，AC，BC有交點3種情況來計算，計算量比較大。采用特例法則能較好地解決這一問題。我們取雙曲線與邊AB，AC，BC有交點的特殊情況來計算：當雙曲線過點A時，可計算出k=1，當雙曲線過點B時，同時過點C，可計算出k=3，故答案A可排除，但此時，我們發現從計算出k=1到計算出k=3，雙曲線向右移動的過程中始終沒有與邊BC相交，故答案B不完全，被排除。是選C還是選D，我們再取特殊點，由于直線y=x與BC的交點坐標為（2，2），而雙曲線過此點時，k=4，故答案為C。

三、估算法

估算法適用于含一定計算因素的選擇題，是通過對數據進行粗略、近似的估算，從而確定正確答案的一種解題方法。這類題的考查重心主要不在“數”，而在“理”，不追求數據精確，而追求方法正確。采用“估算法”可以忽略次要因素，抓住問題的本質，以達到快速求解的目的。

例3 如圖2，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是（ ）

A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

解析：本題可通過在Rt△CEN中運用勾股定理求出線段CN的長，但運用估算的方法會使該題更簡單：由于點E是BC的中點，所以EC=4cm，在Rt△CEN中，由于EN是斜邊，所以EN>EC，即EN>4cm，又因為EN=DN，而DN+CN=8cm，可知CN<4cm，故答案為A。

四、觀察法

觀察法是指通過觀察題目中數、式的變化規律，條件與結論之間的關系，題目的結構特點及圖形的特征，從而發現題目中的數量關系或變化特征，選出正確答案的解題方法。

例4 已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上。一只蝸牛從P點出發，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如圖3所示，若沿OM將圓錐面剪開并展開，所得側面展開圖是（ ）

圖3 A B C D

解析：蝸牛從P點出發，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡是解題的關鍵，根據“兩點之間，線段最短”可知，蝸牛從P點出發，最后又回到P點，最短路線應該是一條線段，據此，通過觀察4個選項，只有C和D符合，再進一步觀察C、D兩個選項，可以發現，沿OM將圓錐側面剪開并展開后，P點到O點的距離應相等，據此答案應選D。

其實解答本題最直觀的辦法是制作一個圓錐，在圓錐上大致畫出蝸牛從P點出發，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡，然后沿OM將圓錐側面剪開并展開，觀察和哪個選項一致。但在考場上每分每秒都十分寶貴，不應在選擇題上耗費太多時間。

五、聯想構造法

所謂聯想構造法就是根據題設和結論所具有的性質特征構造出滿足條件和結論的數學模型，借助于數學模型來解決數學問題的一種方法。這種借用一類問題的性質來研究另一類問題的思維方法在解數學問題時，常常能起到意想不到的效果。

例5 下列命題：

①若a+b+c=0，則b2-4ac≥0；

②若b>a+c，則一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根；

③若b=2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根；

④若b2-4ac>0，則二次函數的圖象與坐標軸的公共點的個數是2或3。

其中正確的是（ ）。

A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有①④ D.只有②③④

解析：對于①，可聯想到x=1時，a+b+c=0，因此可知方程ax2+bx+c=0一定有一個根x=1，故①正確；

對于②，條件b>a+c可變為a-b+c<0，可聯想到一元二次方程ax2+bx+c=0有無實數根就是二次函數y=ax2+bx+c與x軸有無交點，對于y=ax2+bx+c，當x=-1時，可知y=a-b+c<0，故當x=-1時，二次函數y=ax2+bx+c所對應的點在第三象限，當a<0時，只要頂點在x軸下方，由y=ax2+bx+c的大致圖象可知其與x軸無交點，故②錯誤；

對于③，判定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的個數，聯想到根的判別式即可解決：b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4a2+9c2+8ac=2a2+2（a+2c）2+c2>0，故方程有兩個不相等的實數根；

對于④，由b2-4ac可聯想到它通常與一元二次方程根的情況或拋物線與x軸交點的個數有關，可知當b2-4ac>0時，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，即二次函數y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，故④正確，從而得出答案為B。

以上列舉了解選擇題的幾種方法，但真正在解選擇題的過程中，很多辦法都是相通的，有的選擇題只能用一種方法來解，而有的則可以幾種方法聯合運用。掌握多種方法，更利于同學們在考場上快速找出正確答案。