Euler梁彎曲分析的無網格高階曲率光順方案

王冰冰+段慶林+李錫夔+張洪武+楊迪雄

摘要：針對Euler梁彎曲問題的無網格法數值求解，提出與撓度近似相一致的高階曲率光順方案。采用耦合權函數方法準確施加固定撓度邊界條件，并在曲率光順過程中引入轉角邊界條件。數值計算結果表明：該方案能精確反映純彎曲模式和線性彎曲模式；與標準的高斯積分及現有的常曲率光順方案相比，該高階曲率光順方法可顯著改善該類問題的數值求解精度。

關鍵詞：Euler梁；曲率光順；數值積分；無單元伽遼金法；梁單元；耦合形函數；高階近似

中圖分類號：O302 文獻標志碼：A

0引言

Euler梁是工程上廣泛應用的一種結構元件，其彎曲問題的控制方程為四階微分方程，在對其進行數值求解時，要求近似函數至少有C¹連續性。傳統的基于Lagrange插值的有限元法僅具有C⁰連續性，不能直接用于求解Euler梁彎曲問題，通常須采用Hermite插值。近二十余年發展起來的無網格法，其近似函數（形函數）十分光滑，滿足高階連續性的要求，可方便地直接應用于Euler梁的彎曲分析。

由于無網格形函數為非多項式有理函數，需采用較多的區域積分點計算Galerkin法弱形式，嚴重降低無網格法的計算效率，且計算精度不高。由一般彈性體無網格分析中的應變光順技術推廣而來的曲率光順方法，在每個背景積分網格內僅采用一個積分點即可精確反映常彎曲模式，既大幅減少積分點個數又顯著提高求解精度，成為該類問題的主要數值積分方法，已在薄梁板彎曲、自由振動、色散及屈曲等方面得到廣泛應用。然而，DUAN等指出，針對一般彈性體理論提出的應變光順技術只能精確反映常應變場，不完全適用于高階無網格法，并進一步通過修正積分點上節點的導數，發展針對高階近似的一致性積分方法。目前，該類積分方法已在無網格傳熱、彈性動力學和三維彈塑性等問題中得到應用，表現出高精度、高效率的優點。CHEN等基于變分原理推導適用于高階近似的積分約束條件，并通過修正檢驗函數消除積分殘差，該方法得到的檢驗函數一般與試探函數不同，因而得到的剛度陣非對稱。WANG等以應變光順方法為基礎，采用三角形嵌套子域積分，通過積分誤差估計，合理地組合剛度陣，同樣得到具有二階精度的積分方法。

目前，針對一般彈性體的無網格分析已發展出若干種適用于高階近似的積分方法。然而，現有的由應變光順技術推廣而來的曲率光順方法僅能精確反映常彎曲模式，仍然只是常曲率光順方案，不能精確再現與高階（二階以上）無網格近似相一致的具有高階曲率的彎曲模式。本文針對Euler梁彎曲問題，采用三階無網格近似，發展出與其相一致的高階曲率光順方案，并考察其計算精度、收斂性等數值特性。

1控制方程及數值離散

在Ω=[0，L]（L為梁的長度）時，Euler梁彎曲問題的控制方程為endprint