極高Ra湍流熱對流模擬及其流動特征

羅嘉輝+包蕓

摘要：提出二維湍流熱對流DNS模擬的并行直接求解方法（Parallel Direct Method of DNS，PDM-DNs），在“天河二號”超級計算機上實現高Ra和極高Ra湍流熱對流大規模DNs計算。高分辨率的湍流熱對流計算結果表明不同Ra（10³≤Ra≤10¹³）的瞬時溫度場的流場特性完全不同。較低Ra流場中有明顯的大尺度環流和角渦；較高Ra流場中羽流運動充滿隨機性；更高Ra流場出現小尺寸漩渦并不斷從上下底板產生，這些渦相互影響作用，隨大尺度環流一起作繞行運動。二維湍流熱對流的Nu與Ra存在標度關系，標度律約為0.3。

關鍵詞：Rayleigh-B6nard熱對流；湍流；PDM-DNS；并行計算；極高Ra；羽流形態

中圖分類號：0357.53 文獻標志碼：B

0引言

熱對流廣泛存在于自然界和工業生產中，研究熱對流現象對天體物理、海洋環流、全球氣候變化、工業冷卻設計、反應堆設計等科學研究具有重要意義。Rayleigh-Benard（RB）對流系統是研究對流問題的經典物理和流體力學模型，是近年來物理學和流體力學研究領域的熱門研究課題之一。熱對流研究中的重要參數Ra（瑞利數），與研究對象的幾何高度的3次方成正比，所以自然界中的對流現象大都具有極高的Ra。自從KRAICHNANt在1962年提出極高Ra時熱對流隨Ra的變化特性將進入“終極區間”的理論后，學者們一直都在尋找其存在的證據以及“終極區間”的起始臨界Ra即Ra*。熱對流研究中著名的GL理論預言認為，RB對流的特性將在Ra*=O（10¹⁴）時發生根本變化，流動將從湍流狀態進入“終極狀態”。到目前為止，RB對流實驗研究的Ra幾乎都在Ra*之下。發現極高Ra對流系統的“終極狀態”并對其物理和流動特性進行研究，仍是該領域內的一個熱點問題和巨大挑戰。極高Ra的熱對流特性研究對于天體物理學以及大氣、海洋等自然界中的對流熱輸運等重大科學問題有極重要的意義。

DNS數值模擬是RB熱對流的重要研究手段之一。隨著Ra的提高，熱對流流動進入湍流狀態，所需DNS模擬的計算規模不斷增大，導致計算所需要的成本巨大，最終數值計算難以實現。研究極高Ra湍流熱對流的大規模DNS數值模擬技術仍然需要不斷創新。湍流熱對流的DNS數值模擬計算目前在Ra=O（10¹²）的水平，仍無法進行熱對流“終極狀態”的研究。

近年來，超級計算機硬件技術發展迅速，“天河二號”超級計算機可為DNS數值模擬技術的進步提供新的計算硬件技術支持。建立可以高效并行的湍流熱對流DNS計算方法，對極高Ra湍流熱對流及其物理特性的研究有很重要的意義。本文依據可以高效并行的針對泊松方程的PDD算法，提出二維RB熱對流DNS的并行直接求解方法（Parallel Direct Method of DNS，PDM-DNS），在“天河二號”超級計算機上可實現大規模并行的二維高Ra湍流熱對流DNS模擬計算。

1 RB熱對流的控制方程及數值計算

在Boussinesq假設下，經過無量綱化后的二維RB熱對流的描述方程為

式中：V為速度矢量；p為壓力；θ為無量綱溫度；t為時間；k為豎直方向單位矢量；Ra為瑞利數；Pr為普郎特數。計算邊界條件：速度為四壁無滑移邊界；溫度（無量綱化）為下底板加熱θ=0.5，上底板冷卻θ=-0.5；側壁為絕熱邊界。計算網格采用常用的交錯網格，空間采用二階精度離散格式，時間方向采用一階精度。計算區域為矩形，見圖1。計算網格數為n_x×n_z。并行計算的分區沿x方向水平分割，即圖1中較粗的水平網格線。

2 PDM-DNS

PDM-DNS的求解過程采用投影法。投影法計算步驟為：（1）采用顯式格式預估動量方程的速度；（2）結合連續方程推導出求解壓力的泊松方程，求解泊松方程得到全場壓力；（3）對預估動量方程的速度進行修正，得到同時滿足連續方程和動量方程的速度場；（4）采用顯式方法計算溫度對流擴散方程。其中，動量方程和溫度對流擴散方程中的速度和溫度計算采用顯示格式，并行計算容易實現。由連續方程推導出的壓力泊松方程需要全流場聯立求解，通常采用迭代計算，是整個DNS模擬中計算工作量最大的部分。泊松方程全場聯立求解的要求造成并行計算的困難，是實現大規模高效并行計算的難點。因此，計算壓力泊松方程的高效并行求解方案，是二維熱對流DNS模擬可以實現大規模高效并行計算的關鍵技術。

泊松方程的迭代求解方法較容易實現并行計算，但進入湍流狀態的熱對流壓力泊松方程的迭代次數非常大，反復的迭代計算需要很多計算時間，會大大增加計算工作量，而且每次迭代都需要進行數據通信，會造成整體的并行計算效率不高。

在以往小規模的二維熱對流DNS模擬計算中，利用FFT變換解耦泊松方程，用追趕法求解三對角方程組的泊松方程直接解法，在單線程的計算上比用迭代求解方法效率高，但三對角方程組的追趕法無法直接進行大規模高效并行求解，使得壓力泊松方程直接求解方法在規模并行計算上遇到困難。SUN等針對強對角占優的三對角方程組，提出可并行計算的PDD算法。PDD算法通過縮減方程組，在機器精度內得到與精確解等價的近似解，可大大改善需要數據通信的MPl分割并行的可擴展性和計算高效性。經過不斷改進，PDD算法已經成為三對角方程組的規模并行近似求解的基本方法。PDD算法可為解決壓力泊松方程直接求解的規模并行計算提供新的計算技術。

在超級計算機“天河二號”上，可進行MPI和OpenMP混編的大規模并行計算。本文對二維湍流熱對流DNS模擬中的壓力泊松方程采用并行直接求解的方法進行計算。針對二維湍流熱對流并行計算，MPI計算區域沿x方向對z分割，即圖1中較粗的水平線。相鄰的MPI分割區域在并行計算中需要數據通訊，區域內部可用OpenMP并行，無須數據通訊。在直接求解泊松方程過程中，需要用離散快速傅里葉余弦變換解耦泊松方程，因此x方向必須采用等距網格。在z方向上可根據計算的需要采用非等距網格。通過PDD算法并行計算得到三對角方程的近似解，采用對應的離散快速傅里葉余弦反變換公式，得到全場的壓力pⁿ⁺¹，完成泊松方程的并行直接求解。

本文利用以上高效的壓力泊松方程并行直接求解方法，聯合其他易并行的動量方程等計算方法，創建高效二維熱對流的并行直接求解方法，并具有很好的并行效率，為大規模高效并行計算高Ra和極高Ra二維湍流熱對流的DNS模擬提供全新的數值計算技術和計算方法。

3二維高Ra和極高Ra湍流熱對流的流動特性endprint