成本約束下突發事件供應鏈協調模型

李業鳳，李 芳 （上海理工大學 管理學院，上海 200093）

0 引言

隨著科技的發展，全球經濟正在進入一個由供應鏈引領的時代。在這個背景下，供應鏈網絡建模和分析的主題從實際和研究的視角吸引了人們極大的興趣。供應鏈最早來源于現代管理之父的管理大師彼得·德魯克提出的“經濟鏈”，后經由邁克爾·波特發展成為“價值鏈”，最終演變為“供應鏈”。目前，大多數關于供應鏈協調的研究都是建立在供應鏈網絡的內部和外部環境都是穩定的基礎上，但是當供應鏈網絡內部或外部環境發生變化時，例如自然災害、機械故障、工人罷工等，均會導致供應鏈系統的終斷。這些突發事件除了導致巨大的人員傷亡和財政損失之外，還嚴重影響了供應鏈網絡的正常運行?；谶@一現象，供應鏈需求擾動管理和協調機制已成為科學界和企業界的一個活躍的研究課題。為了確保供應鏈能夠滿足需求和供應不確定性，研究人員提出了一些協調模型來應對供應鏈風險。在此基礎上，我們對一個供應商和一個零售商在需求發生擾動后的協調情況進行調查。

供應鏈突發事件應急管理（supply chain disruption management）的概念最先是由Causen等[1]人提出。此后，對于供應鏈系統應急管理的研究取得較快的進展。Qi等[2]人假定價格需求函數為非線性且單位成本為一個常數的條件下，針對突發事件導致市場規模發生變化時，通過數量折扣契約協調突發事件下的供應鏈。Tomlin等[3]人通過增加供應商的個數，加急的運輸方式應對突發事件導致的供應鏈中斷的問題，并且通過倉庫的合理布局從而提高供應鏈的柔性。XIAO等[4]人研究了需求變化下，由一個供應商和兩個零售商組成的供應鏈應急協調。Abad等人研究了數量折扣契約下的供應鏈協調。王玉燕[5]和姜麗寧[6]等研究突發事件造成市場需求發生變化時，供應鏈如何運用回購契約和目標回購契約進行供應鏈協調的問題。Wang（2005）[7]研究了多資源多產品策略，在產品需求不確定時應對突發事件的最優策略。黃欣（2005）[8]研究了當突發事件導致供應鏈擾動時，針對庫存管理采取應急措施能使其快速恢復到正常狀態。丁玲（2006）[9]對供應鏈環境中的突發事件成因與影響因素進行了研究分析，提出預測防御措施來應對即將到來的危機。傅克俊等（2007）[10]對供應鏈系統所面對的風險進行了分類，提出了供應鏈系統應急的策略體系。在供應鏈管理的波及效應管理方面，楊智輝（2010）[11]研究了由一個供應商和一個零售商組成的短生命周期商品的供應鏈，當突發事件造成零售商面臨的市場需求發生變化和供應商的生產成本產生波動時的供應鏈協調應對策略，研究發現通過數量折扣契約可以實現供應鏈波及效應的協調應對。針對一個供應商和一個零售商組成的易逝品供應鏈，高波等（2011）[12]研究了在市場需求和價格同時對響應時間敏感的情況下，如何利用收入共享契約協調供應鏈應對突發事件，給出了供應鏈優應對。覃艷華（2012）[13]等考慮了二級供應鏈在隨機市場需求下突發事件導致市場需求發生變化且變化后的需求信息是不對稱信息時的供應鏈協調問題。曹細玉等（2012）[14]探討了突發事件導致市場需求和零售商邊際成本同時變化且變化后的零售商邊際成本是不對稱信息時回購契約對供應鏈的協調作用。曹二寶[15]探討了利潤共享合約下供應鏈對突發事件的協調應對。

本文研究了針對一個供應商和一個零售商構成的一個短生命周期的二級供應鏈，假設實際市場需求是市場價格的遞減函數，并假設供應商和零售商所獲取的需求信息均是對稱的，供應鏈的所有合作伙伴都是風險中性。同時假設生產成本為市場實際需求的凸函數。因此，供應鏈協調過程可被描述為：在銷售季開始之前，零售商根據市場需求決定最優訂購數量，供應商則根據對產品需求市場的預測以及零售商的反應決定生產數量和對零售商的單位批發價格。

在本研究中，突發事件的發生導致市場需求擾動，從而使零售商的訂貨量和供應商的生產計劃發生改變。為了使供應鏈在突發事件下能夠實現協調，在引入因市場需求增加或減少而帶來的懲罰成本的同時，需要重新設計約束條件，才能使供應鏈有效應對突發事件。

1 基本模型與假設

考慮一條由一個風險中性的供應商和零售商組成的二級供應鏈，研究由于突發事件引起的市場需求擾動的供應鏈協調問題。供應商以單位批發價向零售商銷售產品，然后零售商將產品銷售給最終客戶。假設單位生產成本為C，零售商的零售價格為P，這是由市場競爭自發形成的。市場需求為d（即供應商的生產數量，零售商的最優訂購量）。零售商面臨的市場價格需求函數為d=D－kP，其中D＞0表示市場規模（即市場的最大需求），k＞0表示價格敏感系數。設Q為零售商的訂貨量，T（Q）為零售商對供應商的轉移支付。則有供應商的利潤為fs=T（Q ）－CQ，零售商的利益為fr=PQ－T（Q），由于供應商必須滿足零售商的訂購量，因此有d=Q，由d=D－kP得P=（D－ Q ）/k。此時供應鏈系統的利潤為：

由一階最優性條件可知，存在唯一的最優訂貨點Q*，使得供應鏈系統的利潤取得最大化。令?fsc/?Q=0，可得最優訂貨量、最優零售價格和供應鏈系統的最大利潤分別為Q*=（D－k C ）/2，P*=（D+k C ）/2k,f*sc=（D－kC ）2/4k。當供應鏈利潤取得最大化時，如何劃分供應鏈渠道成員之間的利潤，并引進何種協調機制才能使得供應商的生產數量Q和零售商的零售價格P取得最優是供應鏈協調研究的兩大重要問題。在此，當單一產品成本為一個常數時，我們引進一個數量折扣契約來協調上述供應鏈系統。令T（Q）=W（Q） Q，W（Q）為供應商的批發價格。

引理1假設供應鏈在數量折扣契約下是協調的，則有對于任意的η，0＜η＜1，有fr=（1－η ） fsc。

引理2 對于任意 η，0＜η＜1，設W（Q）=（1－η ） C+η（ D－ Q ）/k，則fr=（1－η ） fsc，即供應鏈在數量折扣契約下實現了協調。

證明：對于任意的 η，0＜η＜1和T（Q）=W（Q） Q有fr=PQ－T（Q）=PQ－W（Q） Q，即fr=Q（ D－ Q ）/k－［（1－η ） C+η （（D － Q ）/k ）］Q從而有fr=［－（1－η ） C+（1－η ）*（D－Q ）/k］ Q，最后得出fr=（1－η ） Q ［（D－ Q ）/k－C］=（1－η ） fsc。由引理1，得證。

以上假設均是在單位成本為一個常數下取得的。在現實生活中，生產成本會因各種因素擾動而發生變化，因此有引理3。

引理3 假設C（Q ）是Q的凸函數，令C（Q）=aQ2+bQ,（a＜0 ），對于任意的Q＞0，有［C（ Q ）/Q］'≥0。即Q［ C（ Q ）］'－C（Q）≥0。由引理2可知，假設C（Q ）是Q的凸函數，原數量折扣契約也能使供應鏈協調。

2 集權供應鏈應對突發事件

集權供應鏈指供應商和零售商屬于同一集團，由同一管理者統一決策，實現供應鏈系統利潤最大化。當供應商根據零售商的最優訂貨量開始生產之后，突發事件發生了。此時突發事件的發生導致市場規模由原來的變為，則變化之后的市場價格需求函數為d。設Q為市場的實際需求（或零售商的實際訂購數量），則變動后零售商的實際零售價格為P。此時，原計劃所取得的利潤有可能不是最優的，并且不論ΔD＞0還是ΔD＜0，都將招致懲罰成本。則供應鏈系統的利潤為：

λ1表示發生突發事件打破了原有計劃而增加的產品的單位成本，λ2表示打破了原有計劃而對剩余產品的單位處理費用。其中｛x｝+=max｛ x,0 ｝。在現實生活中，增加的額外成本非常常見，但是增加的額外成本一般不會大于邊際生產成本，即λ1,λ2≤C'（Q ）（Q＞ 0）。

假設 1λ2－C'（Q ）≤C'（Q），即λ2≤2C'（Q）

假設fsc（Q）在Q*時取得最優，當ΔD＞0時，有；當ΔD＜0時，有Q*≤。因此，當ΔD＞0時式（2） 的優化問題可變為：

由一階最優性）=0，得：

因為Q1滿足因此有在此ΔD分為兩種情形進行討論：情形1，ΔD≥kλ1；情形 2，0＜ΔD＜λ1k。因此，情形 1 中，Q1滿足由式 （4） 中可知，Q1能使式 （3） 中的（Q ）取得最優，因此，令Q*=Q1。情形2中，由于（Q ）是下的凹函數，令。因此，當ΔD＞0時，實際需求Q為：，情形 1；，情形2。

相應地，對于情形1，零售商的最優銷售量求解如下：由式（3）可知因此有Q1零售商的最優銷售價格為：

由此可以看出，不管市場實際需求是增加還是保持不變，零售商的零售價格都會隨著市場規模的變化而增加，與此同時，供應鏈系統的利潤也會隨著增加。當ΔD＜0時，式（2）的優化問題可變為：

同理ΔD分為兩種情形。情形3：－λk＜ΔD＜0；情形4：ΔD≤－λk。同理可得：情形3，，情形4。因此，情

22形3中則有零售商的最優銷售價格為：供應鏈系統最大利潤為對于情形4，零售商的最優銷售量求解如下：由式（5） 可知因此有零售商的最優銷售量為：

供應鏈系統的期望利潤為：

由定理1，我們可以得出以下結論：

（1）突發事件發生后引入懲罰成本的情形下，原生產計劃具有很強的魯棒性。

（2）當突發事件造成的市場規模變化不大時，原有的生產計劃不需要變動，對零售商的零售價格進行相應的調整就能應對市場需求的變化。但是當市場規模的變化超過一定的范圍時，就必須對原有的生產計劃以及零售商的零售價格進行調整才能使供應鏈重新達到平衡狀態。

3 分權供應鏈應對突發事件

在分權式控制下，供應鏈成員各自是獨立的經濟實體并追求自身利益的最大化。我們知道，那什均衡價格等于集權式供應鏈的最優零售價格時，分散供應鏈可以被協調并且達到對突發事件的最優應對。在本文中，我們證明了當W（）Q時，數量折扣契約能使供應鏈協調。在分散模式下的供應鏈系統，我們仍沿用原數量折扣契約，并設因此，當生產成本為實際市場需求的凸函數時發生突發事件，有：W（）Q

從而有定理2：由突發事件引起的分散供應鏈中零售商面臨的價格需求函數發生變化時，通過數量折扣契約T（Q）=W（Q） Q能使供應鏈協調。

4 算例分析

在上一部分，我們研究了在生產成本為凸函數時由于發生了突發事件而導致需求擾動下的供應鏈協調問題。為了進一步說明本文的研究結論，本部分將通過具體的算例分析來驗證文中模型的正確性。假設中央決策者不知道市場規模發生變化，生產數量為的產品，零售價格仍然為。當市場規模由原來的變為，若，則市場的實際需求量Q'為：此時供應鏈系統的利潤為時，意味著市場對該產品的需求量為0。

此時供應鏈的利潤將為一個負值。由此得出，當中央決策者不知道市場發生擾動并且沒有做出任何補救措施時，供應鏈的利潤函數為：

由圖1可知，基于成本約束下市場需求發生擾動的情形下，采用協調策略的供應鏈利潤都比保持原計劃不變不做出調整的策略要大。

圖1 采用應急協調機制與保持原計劃不變的差值圖

5 結論

應急管理是供應鏈管理的重要課題。當供應鏈中發生需求擾動后，如果無法及時應對，供應鏈將損失巨大的利潤。本文研究了由單個供應商和單個零售商組成的一個二級供應鏈，在生產成本為生產數量的凸函數的約束條件下，由于突發事件導致市場需求發生擾動的應急協調機制，得出以下結論：

（1） 對于集權供應鏈，在突發事件發生后引入懲罰成本的情形下，本研究給出了對于突發事件而引起的需求擾動的最優協調機制，并證明原生產計劃具有很強的魯棒性。

（2）對于集權供應鏈當突發事件造成的市場規模不大時，原有的生產計劃不需要變動，對零售商的零售價格進行相應的調整就能應對市場需求的變化。但是，當市場規模的變化超過一定的范圍時，就必須對原有的生產計劃以及零售商的零售價格進行調整，才能使供應鏈重新達到平衡狀態。

（3）對于分權式供應鏈，在對原有數量折扣契約進行調整后，也能實現突發事件的最優應對，且調整后的數量折扣契約具有抗突發性。

本研究僅考慮供應商成本約束下風險中性的二級供應鏈對突發事件的協調應對。但是在實踐生活中，零售商成本常常為私有信息。因此，多個競爭零售商的二級或多級供應鏈的多因素擾動的供應鏈協調將是進一步研究的方向。

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