淺析初中幾何變換圖形中如何作輔助線

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，在圖形中添加輔助線，是我們經(jīng)常應(yīng)用的方法，輔助線能夠使幾何問題簡(jiǎn)化，有助于問題的解決。同時(shí)，通過研究平面幾何的輔助線的添加方法，能夠鍛煉同學(xué)們分類研究問題的能力。平面幾何的輔助線有一定的規(guī)律，而這些規(guī)律大多與幾何圖形的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)三種變換有關(guān)，廣泛應(yīng)用在截長(zhǎng)補(bǔ)短、構(gòu)特殊三角形、化折為直這三大塊。

關(guān)鍵詞：輔助線；平移；旋轉(zhuǎn)；對(duì)稱

一、 變換圖形補(bǔ)短

在題目中出現(xiàn)角相加為180°或兩邊之和等于第三邊時(shí)，可通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的輔助線將角移到一起構(gòu)成直線，或?qū)啥踢呉频揭黄鸬扔诘谌厴?gòu)造等量關(guān)系。

1. 對(duì)稱補(bǔ)短

例1 已知：如圖，∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE于A，且AB+AC=BE，求∠B的度數(shù)。

分析：從條件AB+AC=BE和∠BAD=∠DAC=9°、AD⊥AE，可以看出∠BAD+∠DAC+2∠CAE=180°，因此可將圖形進(jìn)行軸對(duì)稱變換，即：△ACE沿AE翻折得△AEC′，從而△ACE≌△AC′E，可得AC=AC′，∠CAE=∠C′AE，結(jié)合題目條件可推出BC′=BE，∠BAE+∠CAE=180°，從而構(gòu)造等腰△C′BE.即可求出∠B=48°。

2. 旋轉(zhuǎn)補(bǔ)短

例2 如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=120°，∠ABC+∠AED=180°，連結(jié)AD，AC，求證：AD平分∠CDE。

分析：從條件BC+DE=CD和∠ABC+∠AED=180°可以將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△AEF，根據(jù)已知條件可得△ACD≌△AFD。

二、 變換圖形構(gòu)造特殊三角形

在題目中出現(xiàn)兩角之和為特殊角，如：60°，30°，45°，90°時(shí)，可通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等圖形變換構(gòu)造特殊三角形。

1. 構(gòu)造直角三角形

當(dāng)存在邊長(zhǎng)為勾股數(shù)，兩角和為90°時(shí)，可構(gòu)造直角三角形。

例3 在等腰直角三角形ACB中，∠BCA=90°，∠MCN=45°，已知BN=3，AM=4，求MN的值。

分析：從條件∠BCA=90°，可得∠CBA+∠A=90°，而BN=3，AM=4，很容易聯(lián)想到直角三角形。因此設(shè)想構(gòu)造以AM、BN為直角邊的直角三角形，這時(shí)可通過變換圖形達(dá)到目的。即將△AMC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△BDC，構(gòu)造Rt△BND，利用勾股定理求DN=5，再通過△DNC≌△MNC求得MN=ND=5。

2. 構(gòu)造等腰直角三角形

當(dāng)存在直角和45°時(shí)，可構(gòu)造等腰直角三角形。

例4 如圖，已知PA=2，PB=4，∠APB=45°，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，求PD的長(zhǎng)。

分析：從條件ABCD是正方形，可知∠DAB=90°，AD=AB，所以可將△APD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，使得△APD≌△AEB，可得PD=BE，AE=AP，∠EAP=90°，從而構(gòu)造等腰直角三角形AEP，求出PE=2。再加上∠APB=45°的條件可得∠EPB=90°，利用勾股定理即可得出EB=25，所以PD=EB=25。

3. 構(gòu)造等邊三角形

當(dāng)存在60°角時(shí)，通過對(duì)應(yīng)邊相等可構(gòu)造等邊三角形。

例5 在四邊形ABCD中，DC=BC，∠B+∠D=180°，∠DCB=60°，求證：AD+BA=AC。

分析：由條件∠DCB=60°，DC=CB，可將△DCA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BCE。從而構(gòu)造等邊三角形ACE得出結(jié)論。

三、 變換圖形構(gòu)造特殊三角形化折為直

在題目中出現(xiàn)求兩線段和的最小值時(shí)，且兩線段有一公共點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)，可通過軸對(duì)稱作輔助線，利用兩點(diǎn)之間線段最短，將折線化為直線段，從而求出最值。

例6 已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE=1，點(diǎn)P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），求四邊形AEPQ的周長(zhǎng)的最小值。

分析：由題目條件可知，點(diǎn)Q、P分別在線段DC、BC上運(yùn)動(dòng)，所以可作點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連結(jié)A′E′，可將AQ+QP+PE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為A′E′的長(zhǎng)，達(dá)到化折為直的目的，從而求出最小值。

總之，證明平面幾何的困難很多，命題的有關(guān)元素較分散是一個(gè)重要原因。為解決這一難點(diǎn)可在分析圖形特點(diǎn)的同時(shí)，通過平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱三種變換來添置輔助線，從而把這些元素集中到一個(gè)三角形里，便于利用三角形的相關(guān)知識(shí)解題。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃全福.用平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱法添加輔助線[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），1986（3）：22-24.

[2]何汀.巧用變換攻克難關(guān)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2000（2）：22-23.

作者簡(jiǎn)介：劉菲芬，福建省泉州市，安溪恒興中學(xué)。endprint