曲線導數的定義及一些性質

摘要：在高中學習過程中，我們對曲線與導數都進行了較為細致的學習，對其性質與定義也有了一定的了解，在此基礎上進行延伸，能夠得出相關曲線導數的部分內容，其廣泛的應用價值，決定了其研究價值。基于此，本文就曲線導數的定義及一些性質進行了分析，首先，介紹了筆者在對曲線導數這一問題進行研究的前期過程做出的一些思考，然后對其定義與性質進行了分析，進一步明確了這一問題研究的必要性。

關鍵詞：曲線導數；方向導數；充分條件

一、 前言

對曲線導數存在的充分條件及其基本性質的相關研究，有利于豐富微積分理論，同時，對于筆者及其他同學的高中數學學習與未來的大學數學知識學習具有極大的幫助。因此，筆者以高中導數知識為基礎，從曲線導數在經濟學領域，商品價格對商品銷售額的影響這一角度出發，對曲線導數進行了進一步探究。文獻研究中結合的數學知識包括多元函數微分學以及偏導數及曲線微分等知識，極大地鍛煉了自身的數學邏輯思維與探究學習能力。

二、 問題思考

導數是近代數學中的重要概念，對近代數學的整體研究與發展具有重要的推動意義，這主要取決于其揭示了量與量之間的變化聯系，致使其在自然與經濟等眾多學科當中都取得了較為廣泛的應用前景，其應用價值得到了充分的發揮。對于不同的研究問題，導數都可以被賦予相應的定義，除卻常規的導數定義，數學專家們也對方向導數、上右導數與上左導數等進行了定義，對其性質進行了一定的研究與規范。筆者基于對經濟與數學的興趣，對提出曲線導數的相關文獻進行了研究，進一步對曲線導數的定義與性質進行了總結與分析。

三、 曲線導數定義與性質

在經濟學領域的研究當中發現，商品價格與銷售額之間存在一定的相互影響關系，這種關系通過相關數學原理進行表示能夠得到銷售額S=（P，Q），其中，P所代表的是商品價格，Q代表的則是商品P的銷量。由此能夠明確商品銷售價格與銷量之間存在一種非線性關系，可表示為Q=f（P），若在商品銷售過程中，商品價格P與銷量Q遵循該非線性關系進行變化，則我們就能將銷售額的變化率視作一個方向導數，這種定義原理，是由于S=（P，Q）中的P與Q同時作為自變量，并不會沿著同一條射線方向進行直線變化，而是會遵循某一曲線規律進行相關變化。在對商品價格與銷售額之間關系的研究過程中，最終若要明確S=（P，Q）中自變量P與Q在曲線Γ：Q=f（P）上變化時函數S的變化率，就需要提出一種新型的導數定義來進行輔助研究，即為曲線導數定義。

（一） 曲線導數的定義

曲線導數的定義內容如下：假設一個函數z=f（x，y），在這一函數區域D內有定義；過區域D上的一個點M（x，y）作一條曲線，該曲線為Γ：x=φ（t），y=φ（t）。當點M沿著曲線Γ變化時，函數z=f（x，y）就會相應產生一定的變化量，當這一變化量為沿曲線的平均變化率時，且存在極限，則就能夠成認定函數z=f（x，y）在其區域內的點M處沿曲線方向的導數存在。

依據曲線導數的這一定義，我們能夠明確若曲線Γ為射線，則曲線導數的定義就會發生變化，將與方向導數一致，由此，我們能夠將方向導數作為曲線導數定義中的特殊情形進行以下充分條件的研究。此時曲線導數的定義即可歸結為：一個函數z=f（x，y），在一點處某個射線Γ：Q=f（P）方向上變化，這一距離的變化率即為曲線導數；若這變化率中同時考慮到與射線Γ：Q=f（P）指向恰好相反的另一條射線，在定義過程中，令函數的變化距離帶上負號，由此，就得到與正向射線導數相對稱的曲線導數。

依舊是上述假設函數z=f（x，y），若在區域D上存在兩個偏導數，且在M點連續，則曲線函數z=f（x，y）在M點處存在。對這一定理的完全證明，首先應采用曲線圖形內容對偏導數的變化軌跡進行準確呈現，再依據曲線導數的定義，對其變化過程進行有效分析，在兩點逐漸逼近的過程中，兩點之間的弧線可將其近似看為直線，進而得出其變化軌跡變化量。此后，在進一步利用微分計算，得出曲線導數的充分條件。

（二） 曲線導數的性質

曲線導數雖在經濟學領域有著極為廣泛的應用，但其研究過程多以數學原理為基礎，明確曲線導數的性質，能夠更好地實現曲線導數在相關研究中的應用價值，推動數學研究領域與經濟領域共同獲得較大的發展。

以上述曲線導數的定義為基礎，提出以下幾點曲線導數的性質，其中包括曲線導數在曲線為射線時的特殊形式。

若存在沿著同一曲線變化的兩個函數變化量，則說明在函數f1±f2區域內同樣存在曲線導數；若存在沿著同一曲線變化的兩個函數變化量，則說明在函數f1·f2區域內同樣存在曲線導數；若存在沿著同一曲線變化的兩個函數變化量，則說明在函數f1/f2區域內同樣存在曲線導數。

四、 結束語

綜上所述，對曲線導數的定義及一些性質的研究，有利于對現階段高中所學知識內容進行鞏固，同時，還對多元函數微分、曲線微分、偏導數等知識內容進行初步了解，從相關文獻當中，還能了解并學習到知識研究過程的邏輯思維，對以后的數學知識學習具有極大的幫助。另外，對曲線導數定義與性質的研究，便于以后經濟學領域的應用，是筆者今后在高中學習以及未來大學學習的重點方向。

參考文獻：

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作者簡介：

趙浩博，河南省平頂山市，平頂山市第一中學。endprint