同向追及碰撞問題的求解

■河北省衡水第一中學 朱建國

碰撞是指兩物體經過極短時間的相互作用,而使各自的動量和動能發生明顯變化的過程。在處理同向追及碰撞問題時,必須對動量和動能的變化進行綜合的分析和判斷。

一、處理同向追及碰撞問題時必須注意的三個特點

1.碰撞過程中系統的動量守恒：發生碰撞的物體間的相互作用力很大,作用時間很短,系統即便受到外力的作用,也可忽略不計,因此系統的動量守恒。

2.碰撞后系統的機械能不增加：由于發生碰撞的物體間存在相互作用力,使得碰撞過程中系統內各物體的動能發生變化。對于彈性碰撞,碰撞后系統的總動能不變;對于非彈性碰撞,由于有部分動能轉化為系統的內能,故系統的總動能將減少。因此碰撞前系統的總動能一定不小于碰撞后系統的總動能。

3.碰撞后物體的運動狀態符合實際情況：發生碰撞的物體應遵循客觀實際。如物體A追上物體B并發生碰撞,則碰前物體A的速度必大于物體B的速度,而碰后物體A的速度必須小于或等于物體B的速度或物體A反向運動。

例1在光滑水平面上,動能為E0、動量大小為p0的小鋼球1與靜止小鋼球2發生碰撞,碰撞前后球1的運動方向相反。將碰撞后球1和球2的動能和動量的大小分別記為E1、p1和E2、p2,則必有( )。

A.E1＜E0B.p1＜p0

解析：兩球在相碰過程中必同時遵守動量守恒定律和能量守恒定律。因為外界沒有能量輸入,而碰撞中可能產生內能,所以碰后系統的總動能絕對不會超過碰前系統的總動能,即E1+E2≤E0,選項A正確、C錯誤。因為動量和動能滿足關系所以選項A也可寫成選項B正確。設球1碰撞前的運動方向為正,則由動量守恒定律得p2-p1=p0,所以選項D正確。答案為ABD。

圖1

例2如圖1所示,光滑水平面上有大小相同的A、B兩球在同一直線上運動。兩球的質量關系為mB=2mA,規定向右為正方向,A、B兩球的動量均為6kg·m/s,運動中兩球發生碰撞,碰撞后A球的動量增量為-4kg·m/s。則 ( )。

A.左方是A球,碰撞后A、B兩球的速度大小之比為2∶5

B.左方是A球,碰撞后A、B兩球的速度大小之比為1∶10

C.右方是A球,碰撞后A、B兩球的速度大小之比為2∶5

D.右方是A球,碰撞后A、B兩球的速度大小之比為1∶10

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解析：因為A、B兩球的初動量均大于零,所以A、B兩球均向右運動。因為碰撞后A球的動量增量為-4kg·m/s,說明A球受到負方向的沖力的作用,所以碰前A球的速度大于B球的速度。因為此過程是A球追上B球發生碰撞,所以A球在左方。根據動量守恒定律可知,碰撞后B球的動量增量為4kg·m/s,A球的動量為2kg·m/s,B球的動量為10kg·m/s,所以mAvA=2kg·m/s,mBvB=10kg·m/s,又有mB=2mA,解得vA∶vB=2∶5。答案為A。

二、同向追及碰撞問題的四類題型

1.碰撞后物體可能的速度。

例3兩個小球在光滑水平面上沿同一直線同一方向運動,B球在前,A球在后,已知mA=1kg,mB=2kg,vA=6m/s,vB=2m/s。A球追上B球發生碰撞,則A、B兩球碰后的速度大小可能是( )。

A.vA'=5m/s,vB'=2.5m/s

B.vA'=2m/s,vB'=4m/s

C.vA'=-4m/s,vB'=7m/s

D.vA'=7m/s,vB'=1.5m/s

解析：取兩球碰撞前的運動方向為正,則碰撞前系統的總動量p=mAvA+mBvB=10kg·m/s,碰撞后,四個選項的數據均滿足動量守恒。碰撞前系統的總動能Ek=則碰撞后系統的總動能應滿足Ek'≤22J,故選項C、D被排除。選項A雖然滿足動能關系,但不符合實際,即碰撞后A球不可能沿原方向比B球的速度更大。答案為B。

2.碰撞后物體可能的動量。

在同向追及碰撞問題中,設A球追上B球發生碰撞,則必有在這個過程中B球由于受到與運動方向一致的沖力作用,而有由以上兩式得即則必有pA。這就是同向追及碰撞問題中碰撞后主動球可能的動量,再由動量守恒定律可確定碰撞后被動球的動量。

例4質量相等的兩個小球A、B,在光滑的水平面上沿同一直線向同一方向運動,A球的初動量為7kg·m/s,B球的初動量為5kg·m/s。在A球追上B球發生碰撞后,A、B兩球的動量可能為( )。

A.6kg·m/s,6kg·m/s

B.3kg·m/s,9kg·m/s

C.-1kg·m/s,13kg·m/s

D.-4kg·m/s,10kg·m/s

解析：由動量守恒定律可知,碰撞后兩球的動量之和應為12kg·m/s,則選項D被排除,而其余選項均遵守了動量守恒定律,且滿足A球動量減小、B球動量增加,以及-pA＜pA'＜pA的關系。根據動量和動能的關系可得容易判斷B、C選項的數據不符合,被排除。答案為A。

3.碰撞后物體可能的動量變化。

在同向追及碰撞問題中,設A球追上B球發生碰撞,主動球可能的動量滿足-pA＜pA'＜pA,則主動球可能的動量變化一定滿足-2pA＜ΔpA＜0,根據動量守恒定律應有ΔpA+ΔpB=0,故碰撞后被動球的動量可由該式進一步確定。

圖2

例5如圖2所示,在光滑水平面上,A、B兩球沿同一直線向右運動,它們的初動量pA=12kg·m/s,pB=13kg·m/s,則碰撞后它們的動量變化 ΔpA、ΔpB可能是( )。

A.ΔpA=-3kg·m/s,ΔpB=3kg·m/s

B.ΔpA=4kg·m/s,ΔpB=-4kg·m/s

C.ΔpA=-5kg·m/s,ΔpB=5kg·m/s

D.ΔpA=-24kg·m/s,ΔpB=24kg·m/s

解析：由兩球的位置關系容易看出必有ΔpA＜0,ΔpB＞0,排除選項B。根據-2pA＜ΔpA＜0排除選項D。答案為AC。

4.發生碰撞的物體可能的質量關系。

例6A、B兩物體在光滑的水平面上同向前進,它們的初動量pA=5kg·m/s,pB=7kg·m/s,在物體A追上B發生碰撞后,物體B的動量變為pB'=10kg·m/s。則兩物體的質量關系可能為( )。

A.mA=mBB.2mA=mB

C.4mA=mBD.6mA=mB

解析：根據動量守恒定律可知,碰撞后物體A的動量必為pA'=2kg·m/s。選項A不滿足vA＞vB,選項D不滿足vA'≤vB',可排除。對選項B不妨設mA=m,則mB=2m,根據動量和動能的關系可得,碰撞前碰撞后E'=k顯然E'＞E,不符合動kk能關系,可排除。答案為C。