NiTi合金的相變-塑性統(tǒng)一本構(gòu)模型與數(shù)值算法

李云飛， 陳 成， 曾祥國(guó)

(1.中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽(yáng) 621999； 2.四川大學(xué) 建筑與環(huán)境學(xué)院，成都 610065)

NiTi形狀記憶合金(shape memory alloy，SMA)作為近年來(lái)發(fā)現(xiàn)的一種重要智能材料，因其具有形狀記憶效應(yīng)、超彈性、高阻尼及耐腐蝕等特殊性能被應(yīng)用于航空航天、生物醫(yī)學(xué)與電子設(shè)備等諸多工程領(lǐng)域[1-3]。形狀記憶效應(yīng)與超彈性是NiTi合金宏觀層面上表現(xiàn)出的兩種最基本、最獨(dú)特的力學(xué)特性。形狀記憶效應(yīng)即材料通過(guò)調(diào)節(jié)溫度可恢復(fù)由應(yīng)力誘發(fā)的較大程度變形(約8%左右)；在較大溫度范圍經(jīng)歷相對(duì)較高應(yīng)變程度的加載然后卸載，材料經(jīng)過(guò)遲滯回線恢復(fù)到初始形狀稱(chēng)為超彈性。超彈性行為實(shí)質(zhì)上是細(xì)觀層面上形狀記憶合金的熱彈性馬氏體在奧氏體與馬氏體相結(jié)構(gòu)發(fā)生轉(zhuǎn)變(即相變)引起，溫度與應(yīng)力均可以誘發(fā)形狀記憶合金的馬氏體相變。

作為材料性質(zhì)研究的重要內(nèi)容，近年來(lái)各國(guó)學(xué)者對(duì)NiTi合金開(kāi)展了深入的理論與實(shí)驗(yàn)研究并提出了多種本構(gòu)模型。建立在試驗(yàn)基礎(chǔ)上近似描述材料宏觀力學(xué)行為的唯象理論模型在近二十年內(nèi)取得較大進(jìn)展?；谧杂赡茯?qū)動(dòng)力理論建立的Tanaka[4]，Liang[5]與Brinson[6]系列本構(gòu)模型在形式上比較相似，主要區(qū)別在于采用了不同的馬氏體相變動(dòng)力學(xué)模型。該系列本構(gòu)模型形式簡(jiǎn)單，避開(kāi)了自由能等難以測(cè)量的參量，得到了廣泛的應(yīng)用。Urbano等[7]假定了單變體馬氏體體積分?jǐn)?shù)與多變體馬氏體體積分?jǐn)?shù)2個(gè)內(nèi)變量，構(gòu)建了NiTi合金的本構(gòu)模型。Byod[8]和Lagoudas[9]基于自由能與耗散勢(shì)概念提出了可以描述超彈性與形狀記憶效應(yīng)的本構(gòu)模型，該模型可以很好地描述應(yīng)力誘發(fā)下的正、反方向的相變行為，但形式復(fù)雜計(jì)算量大，難以用于實(shí)際工程。Auricchi[9-12]以相變中馬氏體百分比含量和馬氏體百分比變化率作為兩個(gè)獨(dú)立的內(nèi)變量發(fā)展了可描述超彈性的一維與三維本構(gòu)關(guān)系，該模型宏觀材料參數(shù)易測(cè)量，便于與有限元法結(jié)合并嵌入ANSYS，ABAQUS等大型商用軟件中。

隨著科技發(fā)展，工程領(lǐng)域?qū)iTi合金在沖擊等嚴(yán)苛環(huán)境下的材料特性愈加關(guān)注。NiTi合金在經(jīng)歷了母相彈性、馬氏體相變與馬氏體彈性階段后的塑性流動(dòng)行為也需要重點(diǎn)研究。目前的本構(gòu)模型主要關(guān)注材料的馬氏體相變與形狀記憶效應(yīng)的描述，對(duì)于更高應(yīng)力水平下的力學(xué)行為描述的研究還較少。本工作基于不可逆熱力學(xué)理論框架，確定了相變、塑性兩個(gè)內(nèi)變量構(gòu)建NiTi合金的宏觀唯象本構(gòu)模型。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定了本構(gòu)模型參數(shù)，并采用半隱式應(yīng)力積分方法將該模型進(jìn)行了數(shù)值程序?qū)崿F(xiàn)，為其實(shí)際工程應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 本構(gòu)模型構(gòu)建

以不可逆熱力學(xué)理論框架為基礎(chǔ)構(gòu)建本構(gòu)關(guān)系首先要確定內(nèi)外變量，然后是假設(shè)自由能函數(shù)(內(nèi)、外變量的函數(shù))[13]。本工作選用應(yīng)變張量與溫度作為外變量，因NiTi合金變形過(guò)程存在兩個(gè)不可逆過(guò)程，假設(shè)2個(gè)內(nèi)變量：表征相變行為的內(nèi)變量ξ，表征塑性行為的內(nèi)變量η。則單位質(zhì)量的Helmholtz自由能函數(shù)可表示為：

(1)

在等溫條件下，由Clausius-Duhem不等式得到

(2)

(3)

根據(jù)(1)式，在等溫條件下可得

(4)

將式(3)～(4)代入Clausius-Duhem不等式改寫(xiě)為

(5)

假定加載過(guò)程中彈性應(yīng)變、相變應(yīng)變與塑性應(yīng)變相互獨(dú)立，要使(5)式恒成立須有：

(6)

(7)

(8)

以上為NiTi合金的本構(gòu)框架，式(6)～(8)分別表征了彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、相變演化規(guī)律與塑性演化規(guī)律。令Helmholtz自由能由彈性自由能Φe、相變自由能Φtr和塑性自由能Φp共同貢獻(xiàn)，即

Φ=Φe+Φtr+Φp

(9)

假設(shè)彈性自由能函數(shù)符合如下形式：

(10)

將式(9)～(10)代入式(6)中可得

(11)

顯然式(11)即為Hook定律，也可寫(xiě)成

(12)

(13)

1.1 相變演化規(guī)律

(14)

同時(shí)假設(shè)勢(shì)函數(shù)Θ=Θ(σij,Α)，以及內(nèi)變量演化方程：

(15)

(16)

將式(15)～(16)代入式(14)中可得

(17)

(18)

假設(shè)相變自由能函數(shù)的形式寫(xiě)成：

(19)

類(lèi)比經(jīng)典Chaboche塑性本構(gòu)模型[15]構(gòu)造勢(shì)函數(shù)為：

(20)

(21)

(22)

n為馬氏體體積分?jǐn)?shù)，定義其形式：

(23)

(24)

將式(19)～(24)代入式(15)，(16)與(18)中可得NiTi合金的相變演化規(guī)律為：

(25)

并設(shè)廣義力Aij的演化方程為:

(26)

式中：材料參數(shù)k1，k2的值可通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)得。則式(22)～(26)為描述相變過(guò)程的演化方程。

1.2 塑性演化規(guī)律

(27)

假設(shè)勢(shì)函數(shù)Ω=Ω(σij,B)以及內(nèi)變量演化方程:

(28)

(29)

將式(28)～(29)代入式(27)可得:

(30)

(31)

假設(shè)塑性自由能函數(shù)寫(xiě)成：

(32)

類(lèi)似地參照Chaboche本構(gòu)模型構(gòu)造勢(shì)函數(shù)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

并且設(shè)廣義力Bij的演化方程為：

(38)

式中：k3，k4為材料參數(shù)。式(35)～(38)為描述塑性過(guò)程的演化方程。

2 數(shù)值算法與程序?qū)崿F(xiàn)

通常對(duì)于復(fù)雜的演化方程和硬化法則，采用全隱式應(yīng)力積分方法求解非彈性應(yīng)變?cè)隽喀う舏n式非常困難的。因此本工作采用一種較為簡(jiǎn)單的半隱式應(yīng)力積分方法，即半隱式迭代法求解非彈性應(yīng)變?cè)隽?，在下一個(gè)增量步對(duì)其進(jìn)行顯式更新。主要步驟如下：

(1)輸入應(yīng)力初始值、應(yīng)變?cè)隽俊顟B(tài)變量初始值、時(shí)間步增量以及初始彈性剛度陣。

(2)假設(shè)應(yīng)變?cè)隽咳繛閺椥詰?yīng)變，按彈性方法計(jì)算應(yīng)力并得到等效應(yīng)力，進(jìn)行屈服條件判斷，若發(fā)生屈服則分別進(jìn)入相應(yīng)的相變或塑性迭代步驟；若不滿足屈服條件則進(jìn)入相應(yīng)的彈性階段(即母相彈性或馬氏體彈性段)。

(3)非彈性段(即相變或塑性段)的統(tǒng)一迭代過(guò)程，通過(guò)計(jì)算下一增量步的非彈性應(yīng)變?cè)隽亢托碌牡刃Х菑椥詰?yīng)變?cè)隽恐?，進(jìn)行迭代收斂性判斷進(jìn)而更新所有的狀態(tài)變量。

(4)更新非彈性應(yīng)變及其增量、彈性應(yīng)變及其增量。廣義力和總應(yīng)力等，進(jìn)入下一加載步。

具體的NiTi合金本構(gòu)模型實(shí)現(xiàn)流程示意圖如圖1所示。

NiTi合金本構(gòu)模型實(shí)現(xiàn)流程中的步驟(3)涉及較復(fù)雜非彈性迭代過(guò)程，具體的數(shù)值算法如下所述：

(39)

(40)

對(duì)于相變過(guò)程：

(41a)

對(duì)于塑性過(guò)程：

(41b)

計(jì)算表征強(qiáng)化的狀態(tài)變量，相變與塑性過(guò)程略有不同。對(duì)于相變過(guò)程:

(42a)

對(duì)于塑性過(guò)程:

(42b)

更新彈性剛度矩陣，計(jì)算應(yīng)力增量：

(43)

(44)

更新?tīng)顟B(tài)變量與總應(yīng)力:

(45)

(46)

根據(jù)應(yīng)力張量與狀態(tài)變量，計(jì)算等效應(yīng)力、屈服面方程:

(47)

(48)

根據(jù)Chaboche塑性本構(gòu)模型對(duì)于率相關(guān)模型中塑性應(yīng)變?cè)隽康那蠼庑问?，?jì)算下一個(gè)迭代步的非彈性應(yīng)變?cè)隽亢偷刃Х菑椥詰?yīng)變?cè)隽?

(49)

(50)

對(duì)迭代收斂性的判斷條件

(51)

3 結(jié)果與討論

表1 NiTi合金本構(gòu)模型相關(guān)材料參數(shù)Table 1 Constitutive parameters for NiTi alloy

根據(jù)上述的本構(gòu)模型數(shù)值算法與表1的相關(guān)材料參數(shù)，通過(guò)數(shù)值程序計(jì)算得到NiTi合金在不同應(yīng)變率下的應(yīng)力-應(yīng)變模擬結(jié)果，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[15]對(duì)比如圖2(a)～(b)所示。

圖2 不同應(yīng)變率下NiTi合金應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)對(duì)比Fig.2 Comparison between simulation data with experimental data of NiTi alloy under different strain rates (a)500 s-1; (b)1300 s-1; (c)1500 s-1; (d)2100 s-1

由圖2可知，NiTi合金的本構(gòu)模型數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，驗(yàn)證了本工作數(shù)值算法的合理性。在沖擊加載過(guò)程中，材料隨著載荷的增加先后經(jīng)歷了母相彈性、馬氏體相變、馬氏體彈性及塑性屈服階段，所構(gòu)建的本構(gòu)模型在這四個(gè)階段均能夠較好地?cái)M合，并且可以反映出材料在不同應(yīng)變率下本構(gòu)行為的差異，說(shuō)明該本構(gòu)模型與材料參數(shù)能較合理地預(yù)測(cè)材料的力學(xué)行為。

3 結(jié)論

(1)根據(jù)不可逆熱力學(xué)理論框架推導(dǎo)出了NiTi形狀記憶合金相變與塑性行為的統(tǒng)一本構(gòu)模型。

(2)采用半隱式應(yīng)力積分方法更新非彈性(相變或塑性)應(yīng)變?cè)隽?，將該本?gòu)模型通過(guò)Fortran語(yǔ)言進(jìn)行了數(shù)值程序?qū)崿F(xiàn)。

(3)對(duì)比模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)該模型可較好地?cái)M合材料在加載過(guò)程中經(jīng)歷的不同階段，并良好地反映了材料在不同應(yīng)變率載荷下力學(xué)行為的差異。模型涉及的相關(guān)材料參數(shù)可較方便地通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定，為NiTi合金材料在實(shí)際工程應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

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