機床主軸的可靠性及可靠性靈敏度分析

賀鑫元

(中捷機床有限公司, 遼寧 沈陽 110142)

可靠性是機械產(chǎn)品的基本屬性，是衡量機械結(jié)構(gòu)安全性能的重要指標，可靠性能夠綜合考慮實際中的各種不確定性因素對機械產(chǎn)品的影響。產(chǎn)品進行評估、可靠性分析設(shè)計對于保障產(chǎn)品安全運行并實現(xiàn)既定功能是至關(guān)重要的?？煽啃造`敏度分析是在可靠性分析的基礎(chǔ)上，分析基本變量參數(shù)對結(jié)構(gòu)可靠性的影響程度，實現(xiàn)各個隨機變量對可靠性影響重要性程度的對比，從而對結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化設(shè)計與分析提供參考。本文對龍門式銑鏜床自動直角銑頭的主軸組件進行可靠性及可靠性靈敏度的理論分析。

主軸組件作為機床主傳動鏈最末端部件，其各項參數(shù)直接影響機床性能及工件加工質(zhì)量。考慮應(yīng)用場合及使用要求，機床主軸一般按照剛度條件進行校核，包括軸承安裝位置最大偏轉(zhuǎn)角、主軸最大撓度等指標。其中，軸承安裝位置的最大偏轉(zhuǎn)角對主軸組件的工作精度、溫升情況及使用壽命有非常大的影響。因此綜合考慮加工、制造和使用過程中的各種不確定性因素，本文針對軸承安裝的最大偏轉(zhuǎn)角進行可靠性及可靠性靈敏度分析。

1 Monte Carlo可靠性及可靠性靈敏度分析方法

Monte Carlo方法是計算可靠性的最直接方法，收斂速度與隨機變量的維數(shù)無關(guān)，只要樣本數(shù)量足夠大就能夠保證收斂性和準確性。

設(shè)結(jié)構(gòu)運行狀態(tài)的功能函數(shù)為：

g(x)=g(x1,…,xn)

(1)

其中：x=(x1,…,xn)是影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)的基本隨機變量，相應(yīng)的概率密度分布函數(shù)為fi(xi)(i=1,…,n)。當g(x)0時，結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)；當g(x)>0時，結(jié)構(gòu)安全。則結(jié)構(gòu)的失效概率Pf可以通過下面的數(shù)學(xué)表達式得到：

Pf=P(g(x)0)

(2)

其中F={x:g(x)0}表示失效域，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)的可靠性R為：

R=1-Pf

(3)

進一步的，引入失效域示性函數(shù)IF(x)：

(4)

從式(4)中可以看出，如果樣本點xi落入失效域F內(nèi)，則示性函數(shù)IF(x)=1，否則示性函數(shù)IF(x)=0。

則式(3)可以進一步表示為：

(5)

式(5)的積分可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)期望的形式通過樣本均值來近似，即：

(6)

其中xj(j=1,…,N) 為通過概率密度函數(shù)產(chǎn)生的隨機樣本。

(7)

結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值可靠性靈敏度定義為失效概率Pf對隨機變量的均值μi(i=1,…,n)的偏導(dǎo)數(shù)：

(8)

結(jié)構(gòu)參數(shù)的標準差可靠性靈敏度定義為失效概率Pf對隨機變量的標準差σi(i=1,…,n)的偏導(dǎo)數(shù)：

(9)

相應(yīng)的變異系數(shù)為：

(10)

為了消除基本隨機變量的量綱的影響，對式(8)、(9)進行歸一化處理：

(11)

式(11)的積分可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)期望的形式通過樣本均值來近似，即：

(12)

Monte Carlo方法可靠性及可靠性靈敏度分析的計算步驟為：

(1)確定結(jié)構(gòu)的失效形式及相應(yīng)的功能函數(shù)g(x)。

(2)確定隨機變量的概率密度分布fi(xi)(i=1,…,n)及相關(guān)參數(shù)。

(3)根據(jù)隨機變量的概率密度分布通過隨機模擬產(chǎn)生樣本xj(j=1,…,N)。

(4)將樣本xj(j=1,…,N)代入式中計算得到結(jié)構(gòu)的失效概率及可靠性均值靈敏度和可靠性標準差靈敏度。

2 主軸的可靠性及可靠性靈敏度分析

2.1 主軸剛度校核模型

龍門式銑鏜床的銑頭主軸結(jié)構(gòu)及受力簡圖如圖1所示，A、B點所在平面(垂直紙面方向)分別是主軸尾端軸承和前端軸承安裝平面。主軸由螺旋傘齒輪驅(qū)動，齒輪嚙合力的等效作用點位置如圖2中所示。

在傳動過程中，輸入扭矩M在螺旋傘齒輪作用下產(chǎn)生周向力Px、徑向力Py及軸向力Pz，參考相關(guān)資料[1]可計算三向分力的數(shù)值。在三向分力的作用下，主軸產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)綜合變形。在本例中我們需要計算的是主軸彎曲變形在軸承安裝位置產(chǎn)生的最大偏轉(zhuǎn)角。

圖2是主軸在XOZ平面及YOZ平面內(nèi)的等效受力簡圖，將傘齒輪處軸向力Pz等效為主矢Pz和主矩Mz(Mz=Pz·R)。根據(jù)材料力學(xué)原理可知，最大偏轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在A點。應(yīng)用疊加法[2]，得到主軸在A點偏轉(zhuǎn)角θA公式：

(13)

其中：M表示主軸輸出最大扭矩；E表示材料彈性模量；a表示力作用點與主軸尾端支撐距離；b表示力作用點與主軸前端支撐距離；φ表示螺旋傘齒輪節(jié)錐半角；α表示螺旋傘齒輪壓力角；β表示螺旋傘齒輪螺旋角；R表示力臂；D表示主軸當量外徑；d表示主軸當量內(nèi)徑。基本隨機變量的概率密度分布信息如表1所示。

表1 基本隨機變量的概率分布

隨機變量分布類型均值標準差M/(N·m)正態(tài)分布190085E/GPa正態(tài)分布2002a/m正態(tài)分布77×10-345×10-4b/m正態(tài)分布2405×10-343×10-4?/(°)正態(tài)分布4515×10-3α/(°)正態(tài)分布2093×10-4β/(°)正態(tài)分布3529×10-3R/m正態(tài)分布93×10-345×10-4D/m正態(tài)分布945×10-320×10-4d/m正態(tài)分布50×10-315×10-4

2.2 主軸可靠性及可靠性靈敏度分析

銑頭主軸軸承安裝位置最大偏轉(zhuǎn)角的功能函數(shù)為：

g(x)=[θA]-θA

(14)

其中，[θA]為許用的最大偏轉(zhuǎn)角，[θA]=3×10-4rad[3]。

基本隨機變量x為：

x=[M,E,a,b,φ,α,β,R,D,d]

(15)

采用Monte Carlo方法[4]對銑頭主軸軸承安裝位置的最大偏轉(zhuǎn)角進行可靠性及可靠性靈敏度分析，抽取1×107個樣本代入式(6)、(12)中進行計算得到結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠性分別為：

3 結(jié)論

結(jié)構(gòu)的均值和標準差可靠性靈敏度如表2及圖3、4所示。靈敏度為正值，表明隨著變量值的增加，結(jié)構(gòu)失效概率增大，可靠性降低；靈敏度為負值，表明隨著變量值得增加，結(jié)構(gòu)失效概率減小，可靠性增加。

表2 可靠性靈敏度

均值靈敏度MCS估計值變異系數(shù)標準差靈敏度MCS估計值變異系數(shù)?Pf/?μM3235900125?Pf/?σM9664900129?Pf/?μE-0831300191?Pf/?σE0641100430?Pf/?μa0457400296?Pf/?σa0189201085?Pf/?μb0161300779?Pf/?σb0028706234?Pf/?μ?0001580270?Pf/?σ?-0002764712?Pf/?μα-0004428196?Pf/?σα0018009779?Pf/?μβ0002550231?Pf/?σβ0008520886?Pf/?μR-0421700318?Pf/?σR0168701244?Pf/?μD-0760200201?Pf/?σD0524600492?Pf/?μd0097201280?Pf/?σd0006925437

從均值靈敏度分析結(jié)果中可以看出，對結(jié)構(gòu)失效概率影響較大的變量有主軸輸出最大扭矩M，材料彈性模量E，力作用點與主軸尾端支撐距離a，力臂R及主軸當量外徑D。隨著主軸輸出最大扭矩M和力作用點與主軸尾端支撐距離a的增加，結(jié)構(gòu)的失效概率增加，可靠性降低；隨著材料彈性模量E，力臂R及主軸當量外徑D的增加，結(jié)構(gòu)的失效概率降低，可靠性

增加。結(jié)構(gòu)均值可靠性靈敏度的排序為：M>E>D>a>R>b>d>α>β>φ。

從標準差靈敏度分析結(jié)果中可以看出，對結(jié)構(gòu)失效概率影響較大的變量有主軸輸出最大扭矩M，材料彈性模量E，力作用點與主軸尾端支撐距離a，力臂R及主軸當量外徑D，與均值可靠性靈敏度分析結(jié)果一致。隨著變量標準差的增加，都會使系統(tǒng)的失效概率增加，可靠度降低。結(jié)構(gòu)標準差可靠性靈敏度的排序為：M>E>D>a>R>b>α>β>d>φ。

靈敏度數(shù)值計算結(jié)果可為工程設(shè)計人員進行優(yōu)化設(shè)計提供定量的依據(jù)，在結(jié)構(gòu)的設(shè)計、制造、使用和評估中，要嚴格控制敏感參數(shù)的變化程度。

4 結(jié)語

本文依據(jù)材料力學(xué)理論建立了機床主軸的可靠性分析模型，并進行了可靠性與可靠性靈敏度分析，為機床主傳動系統(tǒng)的設(shè)計與結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了理論依據(jù)?？煽啃造`敏度分析結(jié)果有效地反映了各設(shè)計參數(shù)對其可靠性的影響程度,供設(shè)計人員參考，在設(shè)計制造過程中嚴格控制對可靠性有較大影響的參數(shù)。

[1]機床設(shè)計手冊組.機床設(shè)計手冊[M].北京：機械工業(yè)出版社.1997.

[2]劉洪文.材料力學(xué)[M].4版.北京：高等教育出版社.2004.

[3]NSK滾動軸承選型手冊[M].日本精工株式會社.2014.

[4]呂震宙, 宋述芳, 李洪雙, 等.結(jié)構(gòu)機構(gòu)可靠性及可靠性靈敏度分析[M].北京：科學(xué)出版社, 2009.