帶電粒子在磁場中運動規律的可視化研究

姚琴芬 束正煌

(江蘇開放大學通識教育學院，江蘇 南京 210036)

研究帶電粒子在磁場中運動的規律時，可以利用Matlab強大的模擬仿真功能[1,2]，把復雜、抽象的物理規律，通過直觀、生動的物理圖像展現出來。同時，我們可以隨意更改仿真參數，輸出不同條件下的仿真圖像。對于有些解析法無法求解的復雜問題，只要給定初始條件，我們也可以通過Matlab軟件的強大計算功能進行數值求解，這一點，在實際工作中有著重要的意義。

1 幾個應用實例[3]

(1) 磁聚焦[4,5]

如圖1所示，一束質量為m、帶電量為e的電子，先經過較大的軸向電壓加速，獲得相同的水平速度vz；再經過徑向交變電壓發散，獲得不同的但很小的徑向速度vr；然后進入軸向勻強磁場B中做螺旋運動。下面分析這束帶電粒子的運動軌跡：

圖1 磁聚焦原理圖

螺旋運動的半徑由徑向速度vr決定，其值為

(1)

根據公式(1)，各粒子將作半徑不同的螺旋運動。

螺旋運動的螺距由水平速度vz決定，其值為

(2)

根據公式(2)，由于各粒子具有相同的水平速度vz，所以，它們的螺距相同。下面，根據粒子的運動方程，用Matlab描繪其運動軌跡。

由于電子帶負電荷，其運動方程可表示為

(3)

其中，Cx,Cy和Cz是常數，如果t=0時，x=y=z=0，則Cx=-R,Cy=Cz=0。

設發散角的正切tanθ=vr/vz，則半徑可表示為

(4)

以管長L為坐標單位，取周期T為時間單位，運動方程可化為約化形式，即

(5)

其中，t′=t/T。取發散角θ為參數向量，取時間t為自變量向量，形成矩陣，計算三維坐標，用三維矩陣畫線法畫出軌跡曲線族如圖2所示：

圖2 電子束磁聚焦軌跡圖

從圖2可以看到，由于各個電子的徑向速度不同，因此，每個電子各自以不同的半徑做螺旋運動，但由于各電子具有相同的螺距，因此，經過一個周期后，它們又重新會聚到同一點，這種現象叫做磁聚焦。改變觀察角度，從右向左看，可以看到，所有電子的運動軌跡都是圓，如圖3所示。且電子束的發散角越大，它做螺旋運動的半徑就越大，每經過一個周期，電子束就會聚一次。

圖3 磁聚焦側面示圖

程序如下：

clear %清除變量

theta=-2:0.8:2; %發散角向量的度數

th=theta*pi/180; %化為弧度

n=1; %整數(焦點或周期個數)

t=linspace(0,n); %時間向量

[TH,T]=meshgrid(th,t); %矩陣

X=tan(TH)/2/pi/n.*(cos(2*pi*T)-1);

%x坐標

Y=tan(TH)/2/pi/n.*sin(2*pi*T);

%y坐標

Z=T/n; %z坐標

figure %創建圖形窗口

box on %加方框

grid on %加網格

view(-20,5) %設置視角

fs=16; %字體大小

r=max(abs(X(:))); %圓的半徑

x=r*cos(th); %圓的橫坐標

y=r*sin(th); %圓的縱坐標

hold on %保持圖像

%畫磁感應線

pause %暫停

view(90,0) %設置左視角

axis equal tight %使間隔相等

《莊子》有篇《不龜手之藥》（龜通皸，皮膚皸裂之意），講了一個故事：宋國有一個善于制造防治皮膚凍裂的藥（類似于現在的防凍護手霜）的人，世世代代以在水中漂洗棉絮為業。有一個客人聽說了，請求用百金購買這個藥方。宋國人把族人召集在一起商量說：“咱家世世代代以在水中漂洗棉絮為業，不過賺幾個小錢兒罷了。現在一下子賣掉技術就能得到百金，那就賣給他吧。”客人得到秘方以后，用它來游說吳王。正趕上越國向吳國發難，吳王派客人作大將，冬天與越國人在水中作戰，因為客人有制作護手霜的秘方，將士們免受凍傷，吳軍大獲全勝。論功行賞，吳王賞給這個客人一塊封地。

(2) 帶電粒子在非勻強磁場中的運動規律[6，7]

如圖4所示： 一質量為m、電荷量為q的粒子，以初速度v0，從坐標原點出發，在xy平面內，沿與x軸夾θ角的方向進入非均勻磁場中，磁感應強度B的大小與x成正比，B=B0x，方向沿x正方向。試寫出該帶電粒子的運動方程，并描繪它在這一非均勻磁場中運動的軌跡[8](忽略重力作用)。

圖4 帶電粒子進入非均勻磁場

分析求解： 該帶電粒子在非均勻磁場中僅受洛倫茲力的作用，因此運動方程為

(6)

(7)

根據速度與位置的關系方程有

(8)

在初始條件t=0時，x=y=z=0，vx=v0cosθ，vy=v0sinθ，vz=0。聯立求解(7)、(8)兩式組成的6個一階微分方程組，可以得到3個位置(x,y,z)以及3個分速度(vx,vy,vz)，但求解過程比較復雜。我們利用Matlab強大的數學工具，編制下列程序，可很方便地解出方程組，并描繪出帶電粒子在這一非均勻磁場中運動的軌跡。假設v0=1000m/s，θ=30°，qB0/m=100。

程序如下：

%電荷在非均勻磁場中的運動

clear

global A; %定義全局變量

A=100;v=1000;sita=pi/6; %設定qBo/m，初速度，入射角

vx=v*cos(sita);vy=v*sin(sita);

%計算x,y方向的初速度

tspan=[0 0.1]; %設定積分時間

subplot(2,2,1) %以下為描繪各方向的運 動軌道

plot(t,y(:,1)); %繪制一般二維曲線

%comet(t,y(:,1)); %繪制動態二維軌跡

subplot(2,2,2)

plot(t,y(:,3));

%comet(t,y(:,3));

subplot(2,2,3)

plot(t,y(:,5));

%comet(t,y(:,5));

subplot(2,2,4)

plot(y(:,3),y(:,5));

%comet(y(:,3),y(:,5));

figure %新開圖像窗口plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5)); %繪制一般三維曲線

%comet3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));

%繪制動態三維軌跡

函數文件是一個獨立文件，文件名為dzc.m

%電荷在非均勻磁場中運動的微分方程

function yp=dzc(t,y)

global A; %定義全局變量yp=[y(2) 0 y(4) A*y(6)*y(1) y(6)-A*y(4)*y(1)]; %寫入微分方程

程序通過求解方程組，得到了全部位置和速度分量與時間點的數值關系，因此，運行程序后，可一一畫出帶電粒子在非均勻磁場中的運動軌跡圖如圖5所示。

圖5 帶電粒子在非均勻磁場中各個方向的運動圖像

從圖5可以清楚地看到：在x方向，帶電粒子因沒有受到任何力的作用而作勻速直線運動；在y和z方向，帶電粒子在磁場與x成正比增強的洛倫茲力的作用下，運動軌跡呈半徑逐步變小的螺旋形[9]。圖6是帶電粒子在三維空間中的螺旋形運動軌跡。

圖6 帶電粒子在非均勻磁場中的運動軌跡

2 結語

通過Matlab模擬仿真技術，不僅可以算出解析法無法計算出來的結果，而且能把帶電粒子在磁場中的運動軌跡直觀、準確地描繪出來，通過動畫觀察物理過程的細節[10]，不同參數的自由選取，使學生能更透徹地理解物理現象及規律背后的奧秘，同時，還能培養學生利用數值計算和模擬[11]解決物理問題和其他工程問題的興趣與能力。

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