水柜邊界處漂浮氣泡形狀

楊 潔 邱為鋼,2

(湖州師范學院 1理學院, 2物理視覺工作室，浙江 湖州 313000)

漂浮在空氣中的肥皂泡穩(wěn)定時是球形, 這個現(xiàn)象蘊含著一個簡單而又深刻的道理[1], 相同體積的肥皂泡, 球形的表面積最小。考慮氣泡的能量，在氣體壓強與體積不變的情況下, 其自由能量主要由其表面張力勢能組成。表面張力勢能等于表面積乘以表面張力系數(shù), 表面積極小就意味著表面張力勢能極小。如果肥皂泡落在地面而又不破裂, 你看到的形狀并不是球形, 而是半球形[2]。這是什么原因? 在超市買魚的水柜(一般是長方體的玻璃缸)中, 水面上的氣泡是半球形的, 靠近水柜的邊界, 你會發(fā)現(xiàn)四分之一球形氣泡和八分之一球形氣泡(兩個垂直平面交接處)，如圖1所示。這又是什么原因?

圖1 水柜邊界處飄浮氣泡的形狀

對于一個封閉的氣泡，氣泡內外的壓強差為表面張力系數(shù)和曲面高斯曲率半徑乘積的兩倍。氣泡內外壓強差為常數(shù)，如果氣泡表面張力系數(shù)也為常數(shù)，那么氣泡表面就是常曲率曲面。符合物理實際的常曲率曲面是球面，或者球面的一部分。球冠的表面積和體積有解析表達式, 所以文獻[1,2]能很方便地給出這樣的結論：相同體積的球冠，半球的球表面積最小。水柜邊界處的氣泡，不再是球冠，而是球缺，可以想象類比為一個球形西瓜在相互垂直的3個方向上切3刀, 剩下西瓜的形狀。它有3個相互垂直的平面, 以及球面的一部分。3個平面相交在一個頂點上, 如圖2所示。球缺的體積和表面積，數(shù)學手冊上沒有，數(shù)學軟件給出的也是積分形式的表達式，從解析角度推理，一般不大可能。本文利用數(shù)值計算和小量分析兩種方法，在給定氣泡體積的情況下，對于不同的球缺頂點幾何參數(shù)，給出氣泡表面積等高線圖和極小值，來驗證本文的猜想。

圖2 三截面球缺示意圖

用切西瓜(看作球形)來比喻的話，文獻[1，2]中的球冠是切一刀，本文中的球缺是切兩刀和三刀。切三刀時，一個平面橫切，兩個平面豎切且垂直，截到的球缺幾何體如圖2所示。3個平面兩兩相交,有3條交線(線段),3個線段相互垂直, 相交在同一點上, 這個點稱為球缺的頂點。

設圖2中的球心在原點，半徑為r。球缺頂點的坐標為(x0,y0,z0)。球缺體積的積分區(qū)域就是以下區(qū)域：

x2+y2+z2x0,y>y0,z>z0

(1)

由式(1)，很容易得到球缺體積的數(shù)值表達式V(x0,y0,z0,r)。在本文中, 球缺表面積是指球缺球面部分的表面積。要分類考慮，當z0>0 時，球缺表面投影到水平平面，平面區(qū)域是以下區(qū)域

(2)

當z0<0 時，表面積要考慮到赤道的上半部分和下半部分。球缺表面投影到水平平面，平面區(qū)域是以下兩個區(qū)域的并集, 分別對應球缺面積在赤道的上半部分和下半部分。

以半徑為一個長度單位, 3個截面相互垂直的1/8球形氣泡為例, 此時它的半徑r0=1, 體積是V0=π/6，表面積是A0=π/2=1.570796。使球形氣泡的半徑r變化, 要保持體積不變, 球缺的頂點坐標參數(shù)(x0,y0,z0)也必須變化。數(shù)值計算反解V(x0,y0,z0,r)=V0，得到球半徑關于頂點參數(shù)的函數(shù)r(x0,y0,z0)，再反代回到球缺表面積數(shù)值表達式A(x0,y0,z0,r)，得到表面積與頂點參數(shù)的函數(shù)A(x0,y0,z0,r(x0,y0,z0))。球缺表面積的三維等勢面雖然可以畫出來，但直觀性不強。我們把三維等勢面投影到3個參數(shù)坐標平面上，投影到(x0,y0)平面上的球缺表面積等“高”線如圖3所示。

圖3 球缺球表面積在極小值附近的等高線圖

圖3對應的參數(shù)是z0=0，在每條封閉曲線上，球缺表面積一樣，故稱為等“高”線。越靠近原點(x0,y0)=(0,0)，球缺表面積越小。在原點處(x0,y0)=(0,0)，球缺表面積取到極小值A0=π/2。數(shù)值計算找到的球缺表面積極小值在(x0,y0,z0)=(0,0,0)取到，極小值就是A0=π/2。這與實際觀測到的現(xiàn)象相符：在3個垂直平面(兩個玻璃面，一個水面)相交處，氣泡球缺的頂點就落在球心位置，也即3平面相交點處，是整個球面的1/8。

接下來小量分析, 設球缺頂點坐標都是小量,考慮到二階小量, 球缺的體積和表面積分別為

式(5)的來源是，體積變化來自兩部分，一部分是1/4大圓面積(πr2/4)在x軸方向上縮小x0的單位，以及對應的y軸和z軸；一部分來自3個長方體的體積，z軸方向上底面積是x0y0，高是半徑r，以及對應的x軸和y軸。式(6)的來源是，球缺球表面積變化來自兩部分，一部分來自1/4圓周(πr/2)在x軸方向上縮小x0的單位，以及對應的y軸和z軸；一部分來自3個長方形，z軸方向上長為x0寬為y0，以及對應的x軸和y軸。

設r=r0+η,其中η是小量。代入到式(5)中，且令V(x0,y0,z0,r)=V0, 考慮到二階小量，

解得

(7)

再把式(7)代入式(6)，考慮到二階小量，計算得到球缺表面積

(8)

寫成矩陣形式的內積表達形式

(9)

(10)

數(shù)值計算畫圖發(fā)現(xiàn)，式(10)給出的等高線圖與圖3完全重合。

1/4球面的證明方法與上文一樣，不再重復說明。實際生活中的水柜不一定是長方體，還有可能是三棱柱，圓柱，球形，或者以上組合體。這些水柜邊界處的飄浮氣泡中心是否也落在邊界上？有興趣的讀者不妨實際考察這些水泡的形狀，數(shù)值計算驗證或反駁本文的結論。

[1] 王正烈.液面上大氣泡形狀的熱力學證明[J].大學化學，2010，25(2)：49-53. WANG Zhenlie. Thermodynamical prove of the shape of large bubble on the liquid surface[J]. College Chemistry， 2010， 25(2)： 49-53.(in Chinese)

[2] 馬秀艷，姜小蘭.漂浮氣泡形狀的研究 [J].大學物理，2011，30(11): 14-15. MA Xiuyan, JIANG Xiaolan. Research on the shape of a bleb floating on surface. College Physics, 2011，30(11): 14-15.(in Chinese)

[3] 李椿．熱學[M]．北京: 人民教育出版社，1982:324．