運動的復平面坐標描述及其應用幾例

顧學文 郭文剛 裴海林

(陸軍軍事交通學院基礎部，天津 300161)

很多力學量(如運動學中位置、速度、加速度，動力學中的力、力矩等)都是矢量，處理力學問題時，通常需要選擇合適的坐標系把這些矢量表示成相應的分量形式。常見的坐標系有直角坐標系、自然坐標系、平面極坐標系、柱坐標系和球坐標系等，目前通行的各種《大學物理》教材對此都有直接或間接的論述[1-8]。本文擬討論一種不見于各種通行教材的坐標系——復平面[9]坐標系。這種坐標系雖不為很多教材作者所注意，在某些情況下卻有其獨特優點，特別適合于處理顯含速度的法向力(洛倫茲力、轉動參考系中的科里奧利力等)作用下的圓周運動、旋輪線運動，以及剛體的轉動與滾動等的動力學問題。在很多情形下，采用該坐標系可使問題的數學難度大大降低，使問題的處理更為簡潔。下面先對這種坐標系進行簡要介紹，然后以幾個例子來說明其應用。

1 復平面坐標系

復平面[9]的結構略同于平面直角坐標系，由兩條相互垂直的坐標軸組成，但它不引入單位矢量i和j，而是將縱軸y軸定義為虛數軸(圖1)，其坐標平面中的每個點(x，y)對應于一個復數x+iy，其中i是虛數單位。可見，其作用相當于一種坐標系，不妨稱為復平面坐標系，在這種坐標系中xOy平面內的任意矢量A都可以用一個復數表示，這個復數的實部和虛部分別是A在x、y軸上的投影，即

(1)

圖1 復平面坐標系及其矢量的表示

這種表示在處理矢量的點積等問題時并無優勢，但對于矢量合成等問題可以同普通的直角坐標系一樣方便，如

(2)

特別是，在這種坐標系中矢量的旋轉關系可以表達得十分簡潔，考慮到歐拉公式

eiθ=cosθ+isinθ

(3)

其中e是自然對數的底，一個大小為A，與x軸夾角θ的矢量A可以表示為

(4)

如把矢量A逆時針轉動φ角變成矢量B，則表示為

(5)

(6)

2 運動量的復平面坐標表示

由前所述，質點的位置矢量r可以表示為

(7)

與之類似，速度、加速度可分別表示為

其中t是時間。即描述運動的各物理量間的關系可以如普通的直角坐標系中一樣直觀地予以表述。

特別地，由于上節中所述的特點，復平面坐標系尤其適合于對圓周運動(以及圓周運動和其他運動構成的合運動)進行簡潔的描述。如以坐標原點為圓心的勻速率圓周運動可表示為

(10)

其中，R是運動軌跡的半徑；ω是角速度大小。更一般化一些，任何

(11)

都表示以原點為圓心的圓周運動，其角速度、角加速度大小分別為

該圓周運動的速度、加速度則可分別表示為

(16)

從上述論述，可以看出復平面坐標系的優點。

3 應用舉例

由于這些優點，采用復平面坐標系在某些情況下能為動力學問題的求解帶來便利，特別是當需要處理的問題中涉及顯含速度的法向力(洛倫茲力、非慣性系中的科里奧利力等)作用下的圓周運動、旋輪線運動，以及剛體轉動與滾動等運動形式時，復平面坐標系往往頗為適合。下面略述幾例以備參考。

3．1 帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動

如圖2所示，在磁感強度B垂直于帶電粒子初速的均勻磁場中，若不考慮帶電粒子加速運動時的輻射阻力，則眾所周知帶電粒子將作勻速率圓周運動。學生們對此結論耳熟能詳：由于受力一直沿法向，粒子速度大小不變，在法向上由牛頓第二定律可解得其軌跡的曲率半徑不變，軌跡當然是圓。然而這種解釋方法通用性較差，即使在此基礎上粒子最多受一個恒力作用(見下例)，也無法再如此處理；另外其中使用的是自然坐標系，這種坐標系通常是先知道軌跡再沿軌跡建立，現在反過來用以求解軌跡，往往使學生感覺邏輯上很不順暢。所以大多學生只是“知道”其軌跡是圓而已，并未想過如何求解得到軌跡。采用通常的平面坐標系學生更為熟悉，但在該坐標系中由牛頓第二定律和洛倫茲力公式可得此粒子的動力學方程為

其中q、m分別是粒子的電量和質量。求解式(17)、(18)這種未知函數及其導數互相“交叉”的微分方程組，是超出多數本科學生的數學能力的。

圖2 均勻磁場中帶電粒子的運動

采用復平面坐標系，卻能較簡潔地得出結果。在該坐標系中，粒子的動力學方程表示為

(19)

此方程可分離變量，故易解得

(20)

對時間t積分則得運動方程

(21)

亦即

(22)

3．2 帶電粒子在均勻正交電磁場中的運動

如在上例中沿y軸方向有均勻靜電場E，則粒子的動力學方程變為

(23)

在前例的基礎上，用常數變易法可以并不困難地解得

(24)

運動方程為

(25)

本例如不采用復平面坐標，將很難解析地解決，因其在普通平面直角坐標系中的動力學方程比式(17)、(18)更復雜。

3．3 旋轉水平面上的小球無滑滾動

圖3 勻轉速水平轉臺上的小球滾動

此例素材來自2015年國際青年物理學家錦標賽(IYPT2015)的一個題目(圖3)。水平轉臺繞豎直軸以勻角速度Ω轉動，勻質小球在該平面上運動。若小球與轉臺間無相對滑動，則其運動軌跡如何？考慮到小球自轉角速度與接觸點速度之間、小球所受靜摩擦力與力矩之間都是互相垂直的，所以此問題也適合用復平面坐標系來描述。以小球質心初速度方向為x軸、水平面與轉臺轉軸的交點為原點在水平面內建立復平面坐標系，以地面為參考系，則球與臺面接觸點間無相對滑動的條件為：

(26)

(27)

由轉動定律和質心運動定理，可列出下列動力學方程：

(30)

(31)

解得

(32)

上式已考慮到x軸是依球質心初速方向選取的(這意味著初速以實數表示)。對時間積分得

(33)

4 結語

復平面坐標系是一種雖在力學中不甚常見，卻在某些情形下具有獨特優點的坐標系。它將平面上的兩個坐標作為一個(復)數進行統一處理，可以很簡便地得到圓周運動的切向與法向加速度的表達式，還能使某些在其他坐標系下不易解決的問題，特別是顯含速度的法向力作用下的運動問題，得到簡潔的處理。可以考慮將運動的復平面坐標描述引入大學物理課程和教材，例如教材中可在“運動的自然坐標表示、法向與切向加速度”內容之后，以小字附注或附錄的形式對其進行適當介紹。

[1] 東南大學等七所工科院校編，馬文蔚改編．物理學(上冊)[M]．北京：高等教育出版社，2006.01：12-14.

[2] 康穎．大學物理(上冊)[M]．北京：科學出版社，2015.12：7-20.

[3] 程守洙，江之永．普通物理學上冊[M]．北京：高等教育出版社，2006.12：5，14.

[4] 趙凱華，羅蔚茵．力學[M]．北京：高等教育出版社，2004.07：28-29.

[5] 黃祝明，吳鋒．大學物理學[M]．北京：化學工業出版社，2002.09：28，9-14.

[6] FEYNMAN R P，LEIGHTON R B，SANDS M.費恩曼物理學講義(第一卷)[M]．鄭永令，華宏鳴，吳子儀，等譯．上海：上海科學技術出版社，2005.06：117-120.

[7] 毛駿健，顧牡．大學物理學[M]．北京：高等教育出版社，1999.11：14-15.

[8] 唐海燕，王麗梅，宋士賢．工科物理教程(上冊)[M]．北京：國防工業出版社，2007.01：39-40.

[9] 王思聰．復平面上的圓的方程[J]．遵義師專學報，1995(1)：54-62． WANG Sicong． The equation of a circle in a complex plane[J]． Journal of Zunyi Teachers College，1995(1)： 54-62．(in Chinese)

[10] 胡建新．帶電粒子在正交恒定電磁場中運動狀態的分析[J]．大學物理．2004(4)：8-10． HU Jianxin． The motion of a charged particle in electric and magnetic fields perpendicular to each other[J]． College Physics， 2004(4)： 8-10．(in Chinese)