力電混合系統的拉格朗日方程

成 實 張雅男 雷 勇

(南京信息工程大學物理與光電工程學院， 江蘇 南京 210044)

物理學的發展史似乎總是遵循著“將分散的規律統一到一個整體的理論系統中，使各個規律在系統中處于恰當的位置和層次[1]”這樣的思路?，F今工程技術領域發展極其迅猛，它是為解決生產生活中的具體問題而發展起來的；而物理學的目的是尋找現象和問題背后的普遍規律，將它們納入一個統一的框架中去。本文描述了力學量和電學元件在性質上的相似性，系統地建立起其對應關系；進而對包含電阻，電容和電感的力電混合系統，構造出普遍方程，最終試圖解釋這種相似性的物理本質，給出普遍方程的實用價值。

在力學中，物體傾向保持靜止或勻速直線運動狀態的固有屬性稱為慣性。慣性表現為物體對外界的反抗：物體以某個速度運動，就會保持這個速度而不易改變，它的大小用慣性質量衡量；同樣，電學中有一種電學元件——電感器，其特性為：當電流通過電感時，就傾向于保持不變，這與慣性非常相似[2]。

圖1 單自由度阻尼諧振子

為了更好地說明力學系統的慣性與電學系統的慣性之間的關系，我們用圖1展示的單自由度阻尼諧振子強迫振動系統[3]進行分析。質量為M的物體上端用一個彈性系數為k的彈簧連接到天花板上，下端通過細棒連有一活塞(二者質量均可忽略)?；钊谘b有粘性液體的容器中，容器置于地面。設外界施加給物塊一個作用力F(t)，物塊受到與彈簧的形變成正比的彈力Fk=kx；與活塞的速度成正比的阻尼力FD=DV(活塞與容器壁間發生粘性摩擦，阻尼力與速度成正比)以及外力F(t)。在這3個力的共同作用下，物塊做往復運動。取彈簧原長處為坐標原點，建立運動學方程

(1)

式中，x為物體的位移及彈簧的形變;D和V分別為活塞粘性摩擦的阻尼系數和速度。

用于分析比較的電學系統如圖2、圖3所示，分別為串聯和并聯LRC電路。L、R、C分別表示電路中的線圈的電感、電阻和電容器的電容。外加電壓為U(t)，根據基爾霍夫電路定律,依次列出兩個電路的電路方程

圖2 LRC串聯電路

圖3 LRC并聯電路

I為串聯電路(圖2)中的電流，Q為通過回路的電荷；I(t)和φ分別為并聯電路(圖3)中的干路電流和電感線圈的磁通。通過對比可以看出，式(1)、(2)、(3)在數學形式上是相似的。

上述3個方程分別描述的是運動學系統和電路系統，但在數學形式上是完全等價的。它們都對應于同一個二階線性常系數微分方程，而求解方程的數學過程并不依賴于方程所表示的物理系統。因此，同一類型數學方程描述的自然可以是不同的物理系統。

表1給出的慣性質量、阻尼系數和彈性柔度是平動的力學系統，在轉動力學系統中也可以找到相似的對應關系(如表2所示)。可以證明，按表2的對應關系，也可寫出轉動力學系統相應物理量的表達式。由此我們得到結論：對于一個力學系統，可以用一個串聯或并聯電路模擬其規律；而一個電學系統，可以構造一個平動或轉動力學系統進行仿真，差異只是在方程中相同位置處所用的物理符號。

表1 平動力學系統與電學系統物理量對應關系

表2 平動力學系統與轉動力學系統物理量對應關系

我們試圖從分析力學的角度，把靜態平衡條件考慮到牛頓第二定律中去，形式上稍作改變，便可得到達朗貝爾表達式

FM+F慣+FD+Fλ=0

(4)

采用分析力學方法去處理圖4所示LRC串并聯電路[5]，根據表1的對應關系，取C1存儲的電荷Q1和L2的磁通φ2作為廣義坐標，則

動能:

(5)

勢能：

(6)

圖4 LRC串并聯電路

它的拉格朗日函數為

(7)

定義耗散函數

(8)

(9)

(10)

化簡移項得

式(11)、(12)正是電路中的基爾霍夫定律。對比式(4)，可以將基爾霍夫電路定律看成為力學中達朗貝爾原理的變形。誠然，上述力學電路系統的相互模擬只以簡單的系統為例，但可以證明，復雜系統也可以由這種簡單系統復合而成。

力學元件的機械運動服從動力學基本規律，電磁元件的電磁運動則遵循電磁學規律。電磁運動可產生作用力，而機械運動可影響電荷和磁場的分布。兩個系統的相似性并不僅僅因為式(1)、(2)、(3)在數學結構上的相似，背后的物理原因在于兩類運動都服從能量轉換的普遍規律，從能量的觀點出發，可以聯合描述機械運動的拉格朗日方程與描述電磁運動的麥克斯韋方程，建立力―電系統的統一方程[6]。

(13)

其中，

式中，ik為電路中電流；ψe定義為電磁耗散函數。

(19)

因為能量守恒，輸入混合系統的電功率必定等于電磁場能量的變化率，電阻耗散功率以及電磁力所做的機械功率，據此得到

(20)

(21)

(22)

總耗散函數ψ則為機械耗散函數和電磁耗散函數的和，定義混合系統的廣義拉格朗日函數

(23)

則式(22)可以寫成

(24)

至此，便構造出了一個統一描述力學-電磁學框架的方程。

日常生活中，動力學現象隨處可見，因此，人們會本能地將物理現象的本質歸結為背后的動力學原因, 而在經典物理學的范疇里，也確能給能量轉化與守恒一個較為全面的動力學解釋。本文式(24)所給出的力學-電磁學方程，僅僅從能量方面討論，并沒有觸及經典理論描述下的動力學本質。我們試圖將這種相似性推廣到整個電動力學領域，“更深層次”地挖掘內在的聯系。

力學研究的基本對象是質點，電磁學研究的基本對象則是運動的電荷；力學的基本定律無須贅述，而電磁學中處于同樣地位的麥克斯韋方程組卻頗為抽象。雖然輔以適當的邊界條件后，麥克斯韋方程組的4個矢量式可以包含經典電動力學的全部內容，但卻與我們熟悉的以力學形式表述的動力學定律大相徑庭，根據前文推導可以得到統一描述力學-電磁學框架的方程，那是否存在一種經典電動力學的完備動力學描述呢?

答案是肯定的。任一電荷在磁場及電場中運動，受力可表示為F=q(E+×B)；更重要的，來自所有其他電荷產生的場力都可以由式中的矢量E和B疊加而成，即電磁場滿足疊加原理。既然一切電磁現象從微觀上都是眾多電荷的運動產生的，如果清楚一個運動電荷產生的E和B的普遍規律，就可以根據疊加原理求出電動力學所研究的任意物理量了。費曼物理學講義給出了由單個電荷產生的電場和磁場的規律[7]：

(25)

上式電場強度計算式后兩項是因為要考慮延時效應而對庫侖定律的修正。上式說明以單個電荷來描述電場和磁場是非常復雜的。而宏觀的電場和磁場又是由不計其數的運動電荷疊加而成，可以設想，用分析力學來描述基于各電荷間的電場和磁場力，從而建立整個電動力學，這樣的思路對于初學者來說，并不容易理解。

本文試圖從力學系統中質點和電磁學系統中電荷分別滿足的動力學定律中探討本文所述兩者的相似性似乎有點困難，但我們嘗試給出一種解釋: 對于一個系統，重要的是系統如何響應外界給出的激勵。由于電阻兩端電壓與通過的電流成正比，因此它是一種線性關系；同樣由于胡克定律的存在，振動的彈簧也是如此。用系統分析的觀點來看，一個系統為線性的必要條件是疊加原理有效：多個激勵給出的總效果可以通過單個激勵效果的和得到。力的作用當然滿足疊加原理，正如前文提到的，電磁場的作用也滿足疊加原理。我們猜測這正是這種系統對外界激勵的“線性響應”造成了這種相似性，也正是如此，才得以構造出統一描述力學-電磁學系統的拉格朗日方程。

[1] 程九標. 大綜合與物理學中心思想的形成及演進[J].物理與工程，2008，18(6)：46-51. CHENG Jiubiao.The formation and evolution of the theore-

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[5] 鄭鈞. 線性系統分析[M]. 北京：科學出版社，1978：27-33.

[6] 劉延柱. 高等動力學[M]. 北京：高等教育出版社，2003：91-107.

[7] RICHARD P. FEYNMAN、ROBERT B. LeightonMatthew Sands. 費曼物理學講義第2卷[M].鄭永令，華宏鳴, 譯. 上海：上海科學技術出版社，2004:573-581