用勾股定理探索幾何圖形面積的關系

蘇燕玉

華師大版八年級上教科書第十四章P108-109，利用圖1和圖2探索引出勾股定理，過程如下：

圖1是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中用陰影畫出的三個正方形：

很顯然，兩個小正方形P，Q的面積之和等于大正方形R的面積，即AC²+BC²= AB²，這說明，在等腰直角三角形ABC中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，

觀察圖2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：

正方形P的面積=9平方厘米；正方形Q的面積=16平方厘米，

正方形R的面積= 25平方厘米，

我們發現，正方形P，Q，R的面積之間的關系是P+Q=R.

由此，我們得出圖中Rt△ABC的三邊的長度之間存在關系BC²+AC²= AB²，即對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有a²+b²= C²，這種關系我們稱為勾股定理，

因此在任意Rt△ABC中，若AB為斜邊，P，Q，R分別是以BC，AC，AB為邊長的三個正方形的面積，根據勾股定理，得BC²+ AC²= AB²，推出P+Q=R，即以直角三角形的三邊為邊長作三個正方形，兩個小正方形的面積和等于大正方形的面積，

思考是不是只有正方形，面積之間才存在這種關系？

探索1若把上述三個正方形換成三個圓，這個

結論以直角三角形的三邊為直徑作三個圓，兩個小圓的面積和等于大圓的面積，

探索2若把上述三個正方形換成三個半圓，這個結論是否成立？

結論以直角三角形的三邊為直徑作三個半圓，兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積， 探索3若把上述三個正方形換成三個任意三角形，這個結論是否成立？

如圖5，顯而易見，這個結論不成立，

探索4若把上述三個正方形換成三個任意等腰三角形，這個結論是否成立？

如圖6，顯而易見，這個結論不成立，

探索5若把上述三個正方形換成三個等腰直角三角形，這個結論是否成立？

結論以直角三角形的三邊為斜邊作三個等腰直角三角形，兩個小等腰直角三角形的面積和等于大等腰直角三角形的面積，

思考把三個正方形換成三個等腰直角三角形，結論成立，而所有的等腰直角三角形都相似，若把任意三角形換成相似三角形，結論是否成立？ 探索6若把上述三個正方形換成三個相似三角形，這個結論是否成立？

另解根據相似三角形的性質：相似三角形面積的比等于相似比的平方，即P：Q：R=a²：b²：C²，因此根據勾股定理有a²+b²=C²，所以P+Q=R.

結論以直角三角形的三邊為對應邊向外作三個相似三角形，兩個小三角形的面積和等于大三角形的面積.

思考既然把三個正方形換成三個相似三角形結論成立，那么如果把三個正方形換成三個相似四邊形，結論是否依然成立？

探索7若把上述三個正方形換成三個相似四邊形，這個結論是否成立？

分析若設直角三角形三邊長分別為a，b，c，其中c為斜邊，分別以直角三角形三邊為對應邊向外作三個相似四邊形，面積分別為P，Q，R，根據相似多邊形的性質：相似多邊形面積比等于相似比的平方，即P：Q：R =a²：b²：C²，又a²+b²=C²，則P+Q=R.

結論以直角三角形的三邊為對應邊向外作三個相似四邊形，兩個小四邊形的面積和等于大四邊形的面積，同理，把三個正方形換成三個相似多邊形，結論依然成立，如圖9～14.

因為任意正方形、圓（或半圓）和等腰直角三角形也都是相似圖形，因此得出結論：以直角三角形的三邊為對應邊向外作三個相似圖形，兩個小相似圖形的面積和等于大相似圖形的面積.endprint