還原基本結構重塑題目原型

陳心紅

幾何學是研究現實世界中物體的形狀，大小和位置關系的一門學科，立體幾何研究的空間是現實空間，認識空間圖形，可培養學生的空間想象能力、運用圖形語言進行交流的能力及幾何直觀能力，

本文的思想靈感來源于蘇教版數學2必修書本第71頁第20題，該題從“補”的角度，將空間圖形還原成基本結構來研究和處理問題，讓讀者從中體會到，抓住基本結構是解決立體幾何問題的關鍵，從而可以使問題的解決得以優化，現將該題呈現如下，

題目1設P，A，B，C是球O上的四個點，P，PB，PC兩兩垂直，且PA= PB= PC =1，求球的體積和表面積，

分析很多學生讀完此題后無從下筆，主要是如何把符合題意的圖形畫出來呢？PA，PB，PC兩兩垂直這個條件怎么用？球心在哪？長度怎么用？半徑怎么求？越想思路越亂，頭腦一片空白，

此題難點是學生沒有將題意給出的關鍵條件——三條線PAPB，PC兩兩垂直進行深入分析，且沒有從PA=PB=PC=1的這個條件，發現更為重要的隱含信息，更為關鍵是沒有想到立體幾何的基本結構——正方體，及其正方體的性質，即沒有把長度相等、兩兩垂直且有公共點的三條線段構成的幾何體還原成立體幾何的基本結構——正方體，以至于圖形畫不出、題目條件不會用，

思路P，A，B C四點構成的以P為頂點，長度相等，兩兩垂直的幾何體剛好含在棱長為1的正方體中，它們有共同的外接球0（如圖1）.而外接球0的直徑2r剛好為正方體棱長的√3倍，故2r=√3，r=√3/2，從而易得球的體積和表面積，

總結部分學生在遇到類似的抽象題目時，頭腦不夠清晰，思路不夠發散，局限于題目本身，總想試圖從題目中獲取直接的線索，當題目條件抽象和線索不明時，要多讀幾遍題目，培養一個求解類似題目的習慣：把復雜的問題簡單化考慮，將抽象的題意還原成它的最基本的結構，重塑題目原型，所謂的復雜抽象的題目便可迎刃而解，

題目1變式棱長為a的正四面體ABC的四個頂點均在一個球面上，求球的半徑R.

分析此題初看具有一定的難度，題干短小精悍，解題線索少且較為抽象，一時無法下手，更重要的是，該題對學生的空間想象能力要求較高，需要具備較為扎實的空間幾何的基礎知識儲備，難點在于根據題意的描述，很難快速和準確地將圖形畫出來，以至于無法繼續解題，一方面很多學生不知道球心在哪、怎么畫，另一方面有的學生知道球心的位置，但不會求解，課堂現場教學中，很少有學生能夠計算出正確答案，而本題考查知識點較多，解題中用到數學方法具備典型性，為此將該題的解題思路呈現如下，希望學生讀者能夠總結反思.

該思路的運算量較大，對學生的空間想象能力要求較高，外接球的球心假設非常關鍵，如果不能對此作適當假設，并不能將重心和球心很好的銜接，該題也不宜解出，該思路需要運用的知識點也較多，用到直角三角形性質、正四面體性質、重心及球心特性等，雖然最后得到答案，但費時費力，實際中操作性較差.

思路2如果此時學生能夠換一種思考方式，發散數學思維，去偽存真，題目便露出原型，因正四面體的外接球難以作圖，而想到把正四面體還原成基本結構——正方體，利用正四面體與正方體有共同的外接球的特性，便可巧妙將圖形畫出來（如圖3）.該圖一經作出，學生便恍然大悟，紛紛樹起了大拇指，因正四面體ABCD的棱長為a，所以正方體的棱長為√2/2a，將正方體外接球的直徑設為2R，利用正方體外接球的性質，其直徑為其棱長的壓倍，從而直徑2R=√3×√2/2，易得R=√6/4a.

這樣的解答過程，不僅運算量大大減少，出現計算錯誤的概率也大大減少，而且節省了大量的時間，化繁為簡，出其不意.

思路2使學生深刻體會到在研究立體幾何時，往往把不好處理的幾何體通過轉化還原成基本結構——長方體、正方體、正四面體、球、正三角形等基礎圖形來解決問題，不僅可以使問題得以解決，而且還可以優化解法，同樣，我們在遇見其他類似的平面幾何、解析幾何、概率及復雜的函數等問題時候，要能夠及時變換思路，嘗試去探索你認為最不可能的簡單結構，將題目分解成一個個微小部分，創新解題方法.

在日常教學中，教師要注重將基本知識點融會貫通，類似的案例要重點突出，培養學生善于將復雜題目簡單化，通過變換為常見的基礎概念，還原基本機構，優化解題思路，從整體下手，逐個分解，直至化繁為簡.

參考文獻

[1]單壿主編.普通高中課程標準實驗教科書（數學2必修）[M].南京：江蘇教育出版社， 2012endprint