還原基本結(jié)構(gòu)重塑題目原型

陳心紅

幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀，大小和位置關(guān)系的一門學(xué)科，立體幾何研究的空間是現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，可培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力及幾何直觀能力，

本文的思想靈感來源于蘇教版數(shù)學(xué)2必修書本第71頁第20題，該題從“補(bǔ)”的角度，將空間圖形還原成基本結(jié)構(gòu)來研究和處理問題，讓讀者從中體會(huì)到，抓住基本結(jié)構(gòu)是解決立體幾何問題的關(guān)鍵，從而可以使問題的解決得以優(yōu)化，現(xiàn)將該題呈現(xiàn)如下，

題目1設(shè)P，A，B，C是球O上的四個(gè)點(diǎn)，P，PB，PC兩兩垂直，且PA= PB= PC =1，求球的體積和表面積，

分析很多學(xué)生讀完此題后無從下筆，主要是如何把符合題意的圖形畫出來呢？PA，PB，PC兩兩垂直這個(gè)條件怎么用？球心在哪？長度怎么用？半徑怎么求？越想思路越亂，頭腦一片空白，

此題難點(diǎn)是學(xué)生沒有將題意給出的關(guān)鍵條件——三條線PAPB，PC兩兩垂直進(jìn)行深入分析，且沒有從PA=PB=PC=1的這個(gè)條件，發(fā)現(xiàn)更為重要的隱含信息，更為關(guān)鍵是沒有想到立體幾何的基本結(jié)構(gòu)——正方體，及其正方體的性質(zhì)，即沒有把長度相等、兩兩垂直且有公共點(diǎn)的三條線段構(gòu)成的幾何體還原成立體幾何的基本結(jié)構(gòu)——正方體，以至于圖形畫不出、題目條件不會(huì)用，

思路P，A，B C四點(diǎn)構(gòu)成的以P為頂點(diǎn)，長度相等，兩兩垂直的幾何體剛好含在棱長為1的正方體中，它們有共同的外接球0（如圖1）.而外接球0的直徑2r剛好為正方體棱長的√3倍，故2r=√3，r=√3/2，從而易得球的體積和表面積，

總結(jié)部分學(xué)生在遇到類似的抽象題目時(shí)，頭腦不夠清晰，思路不夠發(fā)散，局限于題目本身，總想試圖從題目中獲取直接的線索，當(dāng)題目條件抽象和線索不明時(shí)，要多讀幾遍題目，培養(yǎng)一個(gè)求解類似題目的習(xí)慣：把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化考慮，將抽象的題意還原成它的最基本的結(jié)構(gòu)，重塑題目原型，所謂的復(fù)雜抽象的題目便可迎刃而解，

題目1變式棱長為a的正四面體ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，求球的半徑R.

分析此題初看具有一定的難度，題干短小精悍，解題線索少且較為抽象，一時(shí)無法下手，更重要的是，該題對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高，需要具備較為扎實(shí)的空間幾何的基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備，難點(diǎn)在于根據(jù)題意的描述，很難快速和準(zhǔn)確地將圖形畫出來，以至于無法繼續(xù)解題，一方面很多學(xué)生不知道球心在哪、怎么畫，另一方面有的學(xué)生知道球心的位置，但不會(huì)求解，課堂現(xiàn)場(chǎng)教學(xué)中，很少有學(xué)生能夠計(jì)算出正確答案，而本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，解題中用到數(shù)學(xué)方法具備典型性，為此將該題的解題思路呈現(xiàn)如下，希望學(xué)生讀者能夠總結(jié)反思.

該思路的運(yùn)算量較大，對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高，外接球的球心假設(shè)非常關(guān)鍵，如果不能對(duì)此作適當(dāng)假設(shè)，并不能將重心和球心很好的銜接，該題也不宜解出，該思路需要運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)也較多，用到直角三角形性質(zhì)、正四面體性質(zhì)、重心及球心特性等，雖然最后得到答案，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，實(shí)際中操作性較差.

思路2如果此時(shí)學(xué)生能夠換一種思考方式，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，去偽存真，題目便露出原型，因正四面體的外接球難以作圖，而想到把正四面體還原成基本結(jié)構(gòu)——正方體，利用正四面體與正方體有共同的外接球的特性，便可巧妙將圖形畫出來（如圖3）.該圖一經(jīng)作出，學(xué)生便恍然大悟，紛紛樹起了大拇指，因正四面體ABCD的棱長為a，所以正方體的棱長為√2/2a，將正方體外接球的直徑設(shè)為2R，利用正方體外接球的性質(zhì)，其直徑為其棱長的壓倍，從而直徑2R=√3×√2/2，易得R=√6/4a.

這樣的解答過程，不僅運(yùn)算量大大減少，出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的概率也大大減少，而且節(jié)省了大量的時(shí)間，化繁為簡(jiǎn)，出其不意.

思路2使學(xué)生深刻體會(huì)到在研究立體幾何時(shí)，往往把不好處理的幾何體通過轉(zhuǎn)化還原成基本結(jié)構(gòu)——長方體、正方體、正四面體、球、正三角形等基礎(chǔ)圖形來解決問題，不僅可以使問題得以解決，而且還可以優(yōu)化解法，同樣，我們?cè)谟鲆娖渌愃频钠矫鎺缀巍⒔馕鰩缀巍⒏怕始皬?fù)雜的函數(shù)等問題時(shí)候，要能夠及時(shí)變換思路，嘗試去探索你認(rèn)為最不可能的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，將題目分解成一個(gè)個(gè)微小部分，創(chuàng)新解題方法.

在日常教學(xué)中，教師要注重將基本知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，類似的案例要重點(diǎn)突出，培養(yǎng)學(xué)生善于將復(fù)雜題目簡(jiǎn)單化，通過變換為常見的基礎(chǔ)概念，還原基本機(jī)構(gòu)，優(yōu)化解題思路，從整體下手，逐個(gè)分解，直至化繁為簡(jiǎn).

參考文獻(xiàn)

[1]單壿主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（數(shù)學(xué)2必修）[M].南京：江蘇教育出版社， 2012endprint