巴特沃思型低通濾波器的歸一化設(shè)計(jì)?

汪宇 查明 李縱 王衡 劉慶

（中船重工集團(tuán)公司第七二二研究所 武漢 430079）

1 引言

近年來(lái)，隨著電力電子技術(shù)的高速發(fā)展，電路拓?fù)涞男问揭踩找娓拢渲校啥鄠€(gè)“H橋”矩形波疊加而成的階梯波形式輸出功率放大器越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于各種類(lèi)型的固態(tài)大功率發(fā)射機(jī)［1～2］。雖然這種電路拓?fù)漭^好地抑制了功放輸出端的高次諧波，但是在實(shí)際工程應(yīng)用過(guò)程中僅僅通過(guò)這種技術(shù)手段還是難以達(dá)到相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)大功率發(fā)射機(jī)輸出諧波指標(biāo)的要求，所以，仍然需要在功放輸出端和天線調(diào)諧回路之間插入具有諧波抑制功能的環(huán)節(jié)［5］。本文主要介紹了巴特沃思型低通濾波器在階梯波功放后級(jí)諧波抑制中的應(yīng)用，并闡述了巴特沃思低通濾波器原理及特點(diǎn)，采用歸一化方法，通過(guò)Matlab仿真軟件進(jìn)行頻率特性仿真，最后給出了應(yīng)用舉例。

2 巴特沃思濾波器原理及特點(diǎn)

巴特沃思濾波器頻率特性公式可由如下幅度平方函數(shù)定義［6］：

其中：n=濾波器的階數(shù)，ωc=濾波器截止頻率，即振幅衰減-3dB時(shí)的頻率。該濾波器具有如下特殊性質(zhì)：

1）對(duì)于所有n，當(dāng) ω ＝0時(shí) ||H(jω)2=1為極大值，曲線具有最大平坦特性；

2） ||H(jω)2是ω的單調(diào)遞減函數(shù)，不會(huì)出現(xiàn)幅度上的起伏；

3）n趨于無(wú)窮時(shí)，巴特沃思濾波器趨于理想低通濾波器。

根據(jù)式（1），推算出巴特沃思濾波器的衰減量公式如下

其中，fc是濾波器的截止頻率，n是濾波器階數(shù)，f是頻率變量。也就是說(shuō)，當(dāng) fc和n確定之后，上式計(jì)算的結(jié)果就是濾波器對(duì)頻率的信號(hào)的衰減量。

取截止頻率 fc＝300Hz，頻率范圍為0～600Hz，利用Matlab軟件仿真結(jié)果如圖1所示。從圖中可以看出，隨著階數(shù)的增加，濾波器通頻帶內(nèi)越來(lái)越平坦，而阻頻帶內(nèi)衰減特性越來(lái)越陡峭。由此可見(jiàn)，濾波器對(duì)信號(hào)的高次諧波分量能有效抑制。

圖1 3～7階巴特沃思低通濾波器衰減特性

3 元件值的歸一化計(jì)算

在實(shí)際工程應(yīng)用的設(shè)計(jì)過(guò)程中，電路的電阻、電容和電感等元件的數(shù)值分布范圍較大，計(jì)算時(shí)所處理的數(shù)據(jù)量大小相差甚遠(yuǎn)，容易產(chǎn)生計(jì)算誤差。為便于理論分析和計(jì)算，需要將電路參數(shù)作歸一化處理，根據(jù)處理結(jié)果建立通用的計(jì)算公式和圖表［7～8］。

由于巴特沃思濾波器是一種全極點(diǎn)濾波器，其傳遞函數(shù)可表示為如下表達(dá)式：

令 a0=k b0，bn=1，則有：

對(duì)于式（4），若n=2，4，6······傳遞函數(shù)可以分解為如下形式：

若n=3，5，7······則傳遞函數(shù)可分解為

令 b0＝1，k=1，2，···則各項(xiàng)系數(shù)可表示如下：

上式即為歸一化截止頻率為1/（2π）Hz，且特征阻抗為1Ω元件參數(shù)值的計(jì)算公式。

根據(jù)式（7），可建立不同階數(shù)的元件值歸一化參數(shù)表，如表1所示。應(yīng)當(dāng)注意的是，當(dāng)階數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，濾波器的主電路結(jié)構(gòu)有T型和π型兩種形式。

得到歸一化元件值參數(shù)后，可根據(jù)待設(shè)計(jì)濾波器特征阻抗和截止頻率去歸一化處理，得到實(shí)際所需要的濾波器元件值參數(shù)。

表1 n≤7歸一化元件值參數(shù)表

截止頻率比值［9］：

特征阻抗比值：

去歸一化計(jì)算過(guò)程如下：首先將基準(zhǔn)濾波器所有元件值除以M，從而把濾波器的截止頻率從1/2πHz變換成待設(shè)計(jì)濾波器截止頻率；接著將頻率變換后的電路所有電感元件乘以K，所有電容元件除以K，即得到最終所設(shè)計(jì)的濾波器參數(shù)［10］。

4 傳遞函數(shù)歸一化求解

在階數(shù)不高的情況下，求出濾波器的階和3dB截止頻率后，直接利用查表法（表2）得到巴特沃思濾波器頻率歸一化模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)，再通過(guò)頻率變換的方法求得濾波器實(shí)際傳遞函數(shù)，這樣可以省去計(jì)算極點(diǎn)的繁瑣過(guò)程。

頻率歸一化（fc=1/2πHz）的低通巴特沃思濾波器的傳遞函數(shù)表示為

接著，用s/Ω代替式（8）中的s，就可得到截止頻率為Ωc（Ωc＝2πfc）的n階巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)，表示如下：

表2 n≤7歸一化傳遞函數(shù)系數(shù)表

5 應(yīng)用舉例

某工程項(xiàng)目中應(yīng)用的固態(tài)大功率發(fā)射機(jī)功率放大器需設(shè)計(jì)截止頻率為180Hz、特征阻抗為15Ω的5階T型巴特沃思低通濾波器，即3個(gè)電感和2個(gè)電容器。

設(shè)計(jì)步驟如下：

表3 巴特沃思低通濾波器（n=5）歸一化元件值

第一步：查表1，得出歸一化元件的參數(shù)。

第二步，去歸一化。

根據(jù)式（8）計(jì)算截止頻率比值：

根據(jù)式（9）計(jì)算特征阻抗比值：

經(jīng)過(guò)阻抗變換后去歸一化元件值如表4所示。

高中物理中，強(qiáng)化“合作學(xué)習(xí)”教學(xué)理念，是在課程進(jìn)行支出，對(duì)基本知識(shí)和定理定律進(jìn)行大致了解的過(guò)程，也是掌握課程基礎(chǔ)的體現(xiàn).小組合作學(xué)習(xí)以小組為單位，在實(shí)際的教學(xué)良性循環(huán)中，實(shí)現(xiàn)高中生對(duì)物理知識(shí)點(diǎn)如勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的平均速度V平=S/t (定義式) 下的有用推論和中間時(shí)刻速度 Vt/2=V平=(Vt+V0)/2 、末速Vt=V0+at等知識(shí)厚度的理解.

表4 巴特沃思低通濾波器（n=5）去歸一化元件值

T型網(wǎng)絡(luò)主電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 T型巴特沃思低通濾波器（n=5）拓?fù)?/p>

第三步，求傳遞函數(shù)。

通過(guò)查表2可得歸一化傳遞函數(shù)的系數(shù)如表5所示。

表5 巴特沃思低通濾波器（n=5）歸一化傳遞函數(shù)系數(shù)

根據(jù)式（11）可得傳遞函數(shù)：

第四步：計(jì)算機(jī)模擬仿真。

根據(jù)所求解的濾波器傳遞函數(shù)表達(dá)式，利用Matlab仿真軟件進(jìn)行模擬仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 T型巴特沃思低通濾波器幅頻/相頻特性

根據(jù)Matlab仿真結(jié)果可知，巴特沃思低通濾波器截止角頻率為360π，對(duì)應(yīng)fc為180Hz，通帶內(nèi)衰減平坦，無(wú)明顯起伏，通帶衰減小于-3dB，二倍頻衰減小于-20 dB，滿足工程應(yīng)用設(shè)計(jì)要求。

6 結(jié)語(yǔ)

使用歸一化計(jì)算方法可以使巴特沃思低通濾波器的設(shè)計(jì)更加簡(jiǎn)單、快捷、直觀，根據(jù)濾波器傳遞函數(shù)進(jìn)行Matlab仿真可有效驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，但在實(shí)際工程應(yīng)用過(guò)程中還應(yīng)考慮元件參數(shù)誤差對(duì)濾波效果的影響，必要時(shí)應(yīng)對(duì)計(jì)算結(jié)果予以修正。

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