基于耦合偏微分方程的SAS圖像相干斑抑制方法?

黃 攀 唐勁松 徐 魁 鐘何平

（海軍工程大學海軍水聲技術研究所 武漢 430033）

1 引言

合成孔徑聲納（Synthetic Aperture Sonar：SAS）是一種新型的高分辨率水下成像聲納，由于其高分辨率特點，被廣泛應用于水下小目標搜索、航道測繪、水下戰場精細測繪與偵察、海洋湖泊河流地形/地貌測繪等［1～4］。相干斑噪聲是在回波信號中產生的，是SAS系統所固有的，它不同于數字圖像處理中的噪聲。相干斑噪聲的存在給圖像帶來很多不利，它降低了圖像的質量，使圖像難以分析和理解、不利于目標的識別與檢測，因此需要對相干斑噪聲進行去除。目前關于SAS圖像相干斑抑制算法研究比較少，主要是借鑒的合成孔徑雷達中的相干斑抑制方法。SAS相干斑抑制要求既要去除噪聲，又要盡量地保持邊緣細節信息。常用的相干斑抑制方法有局部統計自適應方法［6～7］、小波方法［8］和偏微分方程方法（partial differential equation，PDE）［9～10］。在統計自適應方法中，Lee濾波算法［5］是一種有效的SAS圖像相干斑算法。PDE方法中最為經典的是P-M模型［11］，但是P-M模型是不適定的［12］，因此Catte等［13］提出了正則化的P-M模型，其中要用到高斯預濾波，正則化P-M模型的缺點是高斯預濾波是各向同性的，對各個方向上的濾波能力相同，這樣就會損失一些有用的細節信息，而且高斯函數的方差的選擇需要人為的預先設定，對于不同的圖像要選擇不同的方差。

本文針對正則化P-M濾波模型的上述缺點，提出了一種耦合的PDE濾波方法。該方法中引入了邊緣強度函數，用以控制濾波過程中邊緣的保持。并且在新方法中引入對流項，用來控制擴散的方向，這樣更有利于保持邊緣細節信息。最后通過實際的SAS圖像處理實驗，將本文方法的結果和傳統的正則化P-M方法結果和經典的Lee濾波結果作比較，驗證了該方法在去噪能力和邊緣保持能力上的優勢。

2 傳統濾波算法

2.1 Lee濾波

Lee濾波是利用圖像局部統計特性進行SAS圖像相干斑抑制的典型方法之一，它是基于完全發育的乘性噪聲模型，假設噪聲模型如下

其中R是含噪聲的觀測圖像，s是沒有噪聲的圖像，n為相干斑噪聲。s和n是相互獨立的，且噪聲的均值為1，即nˉ=E[n]=1。假定s的先驗均值和方差可由圖像的局域均值和方差估計得到。s的先驗均值為 sˉ=Rˉ/nˉ=Rˉ，s的方差為

其中Var(R)和Rˉ分別為含噪聲圖像的方差和局部均值，σn為噪聲標準差。經過Lee濾波算法進行相干斑噪聲抑制后的圖像可以表示為

其中

2.2 正則化P-M濾波模型

PDE濾波方法中最經典的是P-M模型，它是由Perona和Malik［11］提出，表達式為

式中，u0是濾波前的圖像，u(x，y，0)表示濾波的初值（即0時刻的值），(x，y)是空間位置。?是梯度算子是梯度模值，?·()是散度算子。式（4）中第一個式子是擴散方程，其中g(||?u)是擴散系數函數，它控制著擴散速度。這里選擇的擴散系數函數g(s)的表達式為

式中K為閾值。

由于擴散系數g(| ? u|)的大小依賴于圖像的梯度模值 | ?u|，在圖像梯度模值 | ?u|較小的區域，即變化緩慢的平坦區域，擴散系數g(| ? u|)比較大，平滑作用就較強，濾波越明顯。而在圖像梯度模值|?u|較大的區域，表示圖像變化較快，此時擴散系數g(| ? u|)就變小，平滑作用就降低，濾波就不明顯，特別是在圖像的邊緣，由于 | ?u|足夠大，g(| ? u|)幾乎為0，因而擴散幾乎停止，從而達到保持邊緣的目的。

但是P-M方程的解是不適定的［12］，因此，Catte等［13］提出了正則化的P-M模型，其表達式為

初值條件依然和P-M模型相同，只是將P-M模型中的擴散系數函數中的u改成了uσ。其中uσ=Gσ*u，這里

uσ的物理意義就是用方差為σ的高斯函數與原始圖像做卷積運算，即進行高斯低通濾波的預處理，目的是將一小部分噪聲去除，以減少將噪聲當成偽邊緣的可能性。數學上已經證明，式（6）是完全適定的［13］。

3 耦合PDE濾波算法

在正則化P-M模型中要經過高斯預濾波，高斯預濾波的本質是一個以高斯模板進行線性濾波的過程，雖然高斯預濾波過程可以去除很多噪聲，為后續的PDE濾波帶來很大幫助，但是由于高斯預濾波在各個方向上濾波作用是一樣的，就會損失一些有用的細節信息，而且高斯函數的方差的選擇需要人為的預先設定，對于不同的圖像要選擇不同的方差。因此本文提出了基于耦合偏微分方程的相干斑濾波方法，克服了高斯預濾波的缺陷，耦合PDE方程模型為

在這個模型中，引入了邊緣強度函數v，它在濾波過程中起著重要作用，用以保持邊緣信息。其中 g( ||?v)=1(1+ ||?v2K2)，它控制著擴散速度。I是原始含噪聲圖像，式（8）中第一個方程等式右邊第一項為擴散項，第二項為對流項，第三項為保真項，即保證濾波后的圖像u和原始圖像I不會相差太大。系數α，β的作用是使右端三項的影響折衷。a(t)是隨著時間變化的參數，b是常數。a(t)隨著時間增加而減小，可以有效地增加u與v的一致性。

耦合PDE模型的具體求解過程如下：

1）為u，v設定初值，初值都為原始圖像；

2）通過式（8）的第二個方程求出v；

3）計算擴散系數函數g( ||?v)的值；

4）通過式（8）的第一個方程求u；

5）完成一次迭代，再進行下一次迭代。

式（8）中具體的離散化數值求解方法參見文獻［14］。

4 實驗結果分析

圖1 各種濾波方法比較

為了驗證本文所提方法的有效性，將本文方法與正則化P-M方法和經典的Lee濾波方法相比較。試驗數據選用一幅合成孔徑聲納樣機試驗所得成像結果數據，如圖1（a）所示。經過5×5窗口的Lee濾波結果如圖1（b）所示，正則化P-M濾波選擇參數為?t=3，K=10，循環次數N=2，其結果如圖1（c）所示，本文的耦合PDE濾波方法選取參數為α=0.5，β=0.0005，b=0.1，?t=0.3，a()0=1，迭代次數N=20，濾波后的結果如圖1（d）所示。

比較圖1中的（b）～（d），可以發現，圖1（b）和圖1（c）都出現了過度濾波的現象，從圖的幅度上就能看出這一點。另外，在圖像的邊緣，例如圖的左下角的凹坑的邊緣，圖1（b）和圖1（c）的邊緣比較模糊，不如圖1（d）保持的好。

為了定量的評價三種方法的質量，本文選擇了等效視數（ENL），邊緣保持指數和圖像方差作為評價標準。等效視數是衡量一幅圖像相干斑噪聲相對強度的一種指標，ENL越大說明圖像上的相干斑越弱，圖像質量越高，等效視數的定義如下：

式中μR和σR分別是圖像的均值和標準差。

邊緣保持（ESI）是指保持圖像的邊緣信息，即去斑處理后的圖像邊緣不模糊，邊緣點位置不移動。邊緣保持指數ESI可以有效地表征濾波處理后對圖像邊緣的保持能力。其定義為

其中Ih，Il分別是去噪后的圖像邊緣像素的灰度值，Iˉh，Iˉl是去噪前的邊緣像素的灰度值。 m 是沿著邊界的像素個數。ESI越大，說明邊緣保持能力越好。

三種方法的定量評價結果如表1所示。從表1中的各項指標可以看出，Lee濾波的ENL和ESI都是最低的，說明它的濾波去除能力和邊緣保持能力都不如偏微分方程濾波方法好。本文的耦合的PDE方法的ENL和ESI比正則化P-M方法稍微高一些，說明本文所提方法在保持邊緣和去除噪聲能力上都比傳統的偏微分方程方法強。

表1 各種相干斑抑制方法處理結果比較

5 結語

本文提出了基于耦合偏微分方程的合成孔徑聲納圖像相干斑抑制方法。該方法引入了邊緣強度函數，用來保證濾波過程中邊緣不被過度濾波，克服了傳統的偏微分方程正則化P-M模型中高斯預濾波在各個方向上濾波效果相同的缺點。通過實際的SAS圖像數據處理實驗，結合等效視數，邊緣保持指數和方差三種指標，將本文方法的結果與傳統的正則化P-M方法和經典的Lee濾波方法結果進行比較，驗證了本文的耦合PDE方法在去噪能力和邊緣保持上的優勢。

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