在數學解題教學中發展學生自主學習的能力

☉江蘇省海門市四甲中學 曹彩霞

高中數學教師要關注習題教學，并以此來提升學生的自主學習意識，發展他們相應的數學能力.

一、自主學習視角下的數學解題

當我們在數學教學中實踐新課程理念時，我們絕不能將習題練習歸于題海戰術的范疇，學生在認識數學理論，理解并體會其思想內涵時，都必須借助習題的分析和研究來獲得相關效果.而且對學生的自主學習而言，解題還能為學生提供一個相對具體的目標，讓他們在閱讀并理解的基礎上，運用數學理論和方法，通過采用正確的思維方式和科學推理，最終在問題解決的過程中加深對知識的理解，同時還能為他們的數學學習積累寶貴的學習經驗.波利亞非常看重數學解題在學生學習過程中的作用，他也明確指出學生的解題應該分成以下四個步驟：（1）審題題意；（2）初擬方案；（3）實施操作；（4）回顧和總結.

當我們引導學生以自主學習的方式來進行學習時，要引導學生有效地進行自我監控.事實上，數學學習應該是一個漫長而枯燥的過程，因此在自主學習中，我們要想學生能夠長久地延續自己的學習熱情，自我監控就顯得相當重要.一般來講，自我監控可以落實在以下幾個方面：其一是對自己的學習計劃有一個合理的部署，其二是能夠對自己的學習活動有一個明確的監察與管理機制；其三是善于對自己的學習行為進行控制和調整，重現體現學習過程的能動性.當我們將解題融入到學生的自主學習過程中時，學生一方面需要將解題納入自己的數學學習計劃，另一方面學生要根據自己在解題過程中的表現來實施監控和調整，以便讓自己的自主學習更加專注和高效.

二、通過數學解題來培養學生自主學習能力

學生通過解題，可以培養自己終身學習的基本意識，也能培養與之適配的學習方法和基本手段，當然這一過程也離不開教師的引導和幫助.

1.指導審題，培養學生自主思考和反思的意識

教學中，我們發現很多學生總是抱怨自己在解題時摸不準思路，引發很多低級錯誤.其實細加推敲，我們發現發生這種情況的關鍵還是學生在審題過程中出現了很多的問題，他們還沒有掌握問題的訣竅和關鍵，作為問題處理的第一道關卡，學生就沒有處理好，自然也就無法順利地到達探索的重點.

指導學生進行審題，我們的關鍵任務是讓學生在接觸問題的第一時間就把握題目的含義，能夠對題目的條件和所求設問有一個清晰而準確的把握.如果一些條件或問題沒有弄清楚，學生是很難解決問題的.

例1已知定義在實數集上的函數f（x）滿足了f（1）=2，f′（x）＜1，求解不等式f（x2）＜x2+1的解集.

在本題的解題過程中，部分能力稍弱的學生可能會搞不清楚這個函數的解析式，從而無從下手；能力稍強一點的學生發現條件中有導函數的介紹，為此準備對所求不等式進行變形處理構建一個新的函數f（x2）-x2-1，通過求導來處理，可是這個方法卻無法將題目中的條件整合起來，這樣問題的處理陷入僵局.

對于上述問題，教師要引導學生展開細致地分析和研究，要讓學生專心地投入情境之中，并對題意進行反復咀嚼，并且以這樣的問題來推動自己的思考和反思：這個問題的條件有哪些？這個問題的條件有什么用？通過這些條件，我能想到什么？我們能從條件中得到什么？比如f′（x）＜1，很多學生認為要使用這個條件，就需要對函數f（x2）-x2-1求導，但是他們又很快發現如此操作并不能完成對問題的解決.思維靈活的學生又開始想到，為什么不對f′（x）＜1進行變形處理呢？這樣可以得到f′（x）-1＜0，這一小小的調整恰好將導函數中最關鍵的一個功能也發掘出來，即它所對應的原函數（比如g（x）=f（x）-x）的單調性也就可以逐步明確下來，然后我們可以利用單調性來完成對問題的處理.而函數單調性在不等式的處理中也是一個常規而重要的方法，即只需要將不等式變換為f（x2）-x2＜1，再聯系到g（1）=1，這也就是解不等式g（x2）=g（1），由于g（x）在實數集上是一個單調減函數，有x2＞1，因此本題所求解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）.

2.注重題組訓練，讓學生在自主比較中提升認識

高中數學為什么難？筆者認為，很多學生是在問題處理時沒有把握本質，導致他們最后的處理發生了偏差.所以，我們在教學過程中要善于組織一些在本質上存在相似性，或形式上不同，但是可以歸類為同一方法進行求解，或問題之間具有延續性和關聯性的問題等.這些問題就組成了一個題組，學生通過比較，可以從似是而非的問題中發現區別，也可以從大相徑庭的問題中發現相似之處，這樣的處理有助于學生對問題展開更加深度的分析和研究，這對學生進行自主學習有著很大的啟發性和引導性.

例2①已知某定義在實數集上的函數f（x）=lg（ax2+2x+1），請確定a的取值；

②已知函數f（x）=lg（ax2+2x+1）的值域為R，請確定a的取值.

很多學生容易將上述兩個提問混淆在一起，問題①中使得ax2+2x+1＞0恒成立，必須要讓a＞0，且Δ＜0，可以得到a＞1；問題②中必須要讓ax2+2x+1取遍一切正數，因此a=0或者要讓a＞0，且Δ≥0，因此可以得到0≤a≤1.

上述問題的分析過程中，如果我們能夠將對數函數、一次函數等函數的圖像用于對問題的表征，將更加有效地促進學生完成對問題的理解.通過上述實例，我們應該鼓勵學生自主思考這樣一些問題：上述文字僅僅只是在文字表述上存在差別，但是同一個問題嗎？如果不是，它們的差別在哪里？它們的本質差別在什么地方？是否還存在什么方法可以幫助我們形成更加深入的理解？為什么我沒有準確把握這個問題的本質題意？如果我們對基本概念的理解還不夠透徹，這和哪些數學概念與方法存在關聯呢？這些問題的分析和處理，有助于學生完成總結，獲得更大幅度的提升.

3.重視學生的反思過程，讓學生在總結中提升自主學習的能力

在解決每一個數學問題之后，教師要善于引導學生進行回顧和反思，不能將思維止步于問題答案的得出，否則這將是一種學習資源的浪費，學生也很難從中獲得進步與發展.

例3已知函數令求數列{xn}的通項公式.

我們要指導學生對上述問題展開反思，并從中進行深度的感悟與總結，學生將感悟到化歸思想的重要性.長此以往，學生展開分析和研究，他們將把這些方法和思想滲透在自主學習的過程之中，這對學生自主學習能力的提升大有裨益.

三、解題教學對學生自主學習能力發展的意義

解題教學是學生整個數學學習體系中最重要的一環，這不但有助于他們對知識的理解和認識，也對他們自學能力的提升大有意義.

首先，對學生的個性發展需要而言，他們需要通過一些習題進行磨煉，這樣的處理可以讓他們的思維更加靈活，可以讓他們以更加開闊的思路來參與問題的探索.因此可以說，解題教學是學生自主學習能力提升過程中不可或缺的一環.

其次，學生將在解題教學中與問題發生更加親密的接觸，他們的自主學習能力也將因此而得到培養，他們的學習會更加主動而熱情，而且他們也將獲取更加深刻的感悟和體驗.解題教學還將在一定程度上推動學生自主學習的進行，他們也將更進一步地參與到學習過程之中，進而提升自己全方位的數學素養.

總之，數學習題教學是一種學習過程，也是一種實踐過程，學生把自己所獲得的數學知識和方法應用到習題的處理之中來，是學生自主學習的主要內容，也是他們能力提升的重要手段.